Para a Equação da Energia Relativística dada por:
E^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}+(p c)^{2}
(a) Explique cada termo da Equação.
(b) Encontre a energia para o fóton.
(c) Encontre a massa de repouso.

Passo 1

O enunciado fornece a equação
E^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}+(p c)^{2}
e pede três coisas:
(a) explicar cada termo da equação;
(b) encontrar a energia para o fóton;
(c) encontrar a massa de repouso (expressão para a massa de repouso em função de E e p).
Informações dadas explicitamente: a própria equação relacionando E, m, c e p. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Vamos entender o que cada símbolo significa — devagar e sem pressa, como num papo entre amigos.
  • \displaystyle E: é a energia total da partícula medida num dado referencial. “Total” aqui significa que inclui tanto a energia ligada à massa quanto a energia ligada ao movimento. A unidade no Sistema Internacional é o joule (\text{J}), mas na física de partículas usamos frequentemente o electronvolt (\text{eV}).
  • \displaystyle m: é a massa de repouso (também chamada massa invariante). É a massa medida no referencial em que a partícula está em repouso. Essa massa é um número fixo associado à partícula, é invariante entre referenciais. Unidade: quilograma (\text{kg}) no SI.
  • \displaystyle c: é a velocidade da luz no vácuo. É uma constante universal; numericamente \displaystyle c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}. Aparece ao quadrado para converter massa em energia (dimensionalmente).
  • \displaystyle p: é o momento linear relativístico (momentum) da partícula, isto é, a quantidade de movimento que leva em conta efeitos relativísticos. Unidade: \text{kg}\cdot\text{m/s}.
Comentário intuitivo: a equação diz que a energia total ao quadrado é a soma da energia “de repouso” ao quadrado, \left(m c^{2}\right)^{2}, com o termo relacionado ao movimento, (p c)^{2}. Esse formato é parecido com um teorema de Pitágoras: energia total é hipotenusa, componentes são massa e momentum multiplicados por c.

Passo 3

Para consolidar: mostro como essa equação se relaciona com expressões mais familiares. Primeiro introduzimos o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}},
onde \displaystyle v é a velocidade da partícula no referencial escolhido. Esse fator aparece sempre que temos efeitos relativísticos. As expressões relativísticas de energia e momentum de uma partícula com massa de repouso \displaystyle m são
E=\gamma m c^{2}, \qquad p=\gamma m v.
Explicando: \gamma m c^{2} é a energia total — quando v=0 temos \gamma=1 e E=m c^{2} (energia de repouso). O momentum é \gamma m v — quando v é pequeno comparado a c, \gamma\approx1 e isso reduz ao momentum clássico m v.

Passo 4

Agora mostro por que aquela equação com quadrados é verdadeira a partir das fórmulas acima. Calculemos
E^{2}-(p c)^{2}=(\gamma m c^{2})^{2}-(\gamma m v\; c)^{2}=\gamma^{2} m^{2} c^{4}-\gamma^{2} m^{2} v^{2} c^{2}.
Fatorando \gamma^{2} m^{2} c^{2} obtemos
E^{2}-(p c)^{2}=\gamma^{2} m^{2} c^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=\gamma^{2} m^{2} c^{4}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right).
Como \displaystyle \gamma^{2}=\frac{1}{1-v^{2}/c^{2}}, o produto \gamma^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right) vale 1. Logo
E^{2}-(p c)^{2}=m^{2} c^{4},
o que reorganizado dá exatamente
E^{2}=(m c^{2})^{2}+(p c)^{2}.
Isso demonstra que a equação é consistente com E=\gamma m c^{2} e p=\gamma m v. Interpretação física: a combinação E^{2}-(p c)^{2} é invariante entre referenciais e iguala (m c^{2})^{2}.

Passo 5

Agora a parte (b): energia do fóton. Um fóton é um quanta de luz; ele viaja sempre à velocidade \displaystyle c e não tem referencial de repouso. Isso significa que a massa de repouso do fóton é nula:
m=0\quad(\text{para o fóton}).ó
Substituindo na equação dada:
E^{2}=(0\cdot c^{2})^{2}+(p c)^{2}=(p c)^{2}.
Tirando raiz positiva (energia é positiva),
E=p c.
Isso já é uma forma útil. Podemos ainda ligar p às propriedades de onda do fóton usando a relação de Planck–de Broglie:
p=\frac{h}{\lambda}, \qquad \text{com } h\text{ sendo a constante de Planck e }\lambda\text{ o comprimento de onda.}
Como \displaystyle \nu=\frac{c}{\lambda} é a frequência, obtemos
E=p c=\frac{h}{\lambda}c=h\nu.
Também em termos da frequência angular \displaystyle \omega=2\pi\nu e da constante reduzida \displaystyle \hbar=\frac{h}{2\pi} temos
E=\hbar\omega.
Resumo: para o fóton temos as formas equivalentes
E=p c = h\nu = \hbar\omega.

Passo 6

Dou um pequeno lembrete de unidades para o caso do fóton: \displaystyle h tem unidade \text{J}\cdot\text{s}. Assim \displaystyle h\nu tem unidade \text{J} como esperado para energia. Se você preferir trabalhar em electronvolts, existe a conversão \displaystyle 1\\ \text{eV}\approx 1{,}602\times10^{-19}\\ \text{J}.

Passo 7

Agora a parte (c): expressar a massa de repouso em função de E e p. Partimos da equação original e isolamos \displaystyle m:
E^{2}=(m c^{2})^{2}+(p c)^{2}
subtraímos (p c)^{2} de ambos os lados:
E^{2}-(p c)^{2}=(m c^{2})^{2}.
Tomamos a raiz quadrada (sempre positiva para \displaystyle m\ge0):
m c^{2}=\sqrt{E^{2}-(p c)^{2}}.
Finalmente dividimos por c^{2} para obter m:
m=\frac{1}{c^{2}}\sqrt{E^{2}-(p c)^{2}}.
Essa é a fórmula que te permite calcular a massa de repouso a partir da energia total e do momentum medidos num mesmo referencial. Observações úteis:
  • Se a partícula estiver em repouso no referencial escolhido, então p=0 e a fórmula reduz para m=E/c^{2} (ou seja, a energia é a energia de repouso).
  • Para partículas sem massa de repouso ( m=0), o lado direito fica zero, o que implica E=pc (o caso do fóton visto no passo anterior).
  • A quantidade m aqui é invariante: diferentes observadores que medem E e p obterão o mesmo valor para m usando essa fórmula.

Passo 8

Exemplo rápido e prático só para fixar (não é pedido, mas ajuda a entender): se um fóton tem comprimento de onda \displaystyle \lambda=500\\ \text{nm} então
E=\frac{h c}{\lambda}.
Substituindo valores (apenas para intuir números) dá energia da ordem de alguns electronvolts, valor típico de fótons visíveis. Isso confirma que a fórmula E=h\nu é útil na prática.

Passo 9

Recapitulando de maneira amigável: pense na equação como um balanço entre a “energia armazenada na massa” \left(m c^{2}\right) e a “energia do movimento” (p c); o quadrado da soma (de forma pitagórica) dá a energia total ao quadrado. Para massa nula, sobra apenas a parte ligada ao momentum; para partícula em repouso, sobra apenas a parte da massa.

Resposta

(a) \displaystyle E é a energia total; \displaystyle m é a massa de repouso; \displaystyle c é a velocidade da luz no vácuo; \displaystyle p é o momentum relativístico.
(b) \displaystyle E=p c = h\nu = \hbar\omega.
(c) \displaystyle m=\frac{1}{c^{2}}\sqrt{E^{2}-(p c)^{2}}.

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