Para a Equação da Energia Relativística dada por:
(a) Explique cada termo da Equação.
(b) Encontre a energia para o fóton.
(c) Encontre a massa de repouso.
(b) Encontre a energia para o fóton.
(c) Encontre a massa de repouso.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede três coisas:
(a) explicar cada termo da equação;
(b) encontrar a energia para o fóton;
(c) encontrar a massa de repouso (expressão para a massa de repouso em função de e
).
Informações dadas explicitamente: a própria equação relacionando ,
,
e
. Não há outros dados numéricos.
(a) explicar cada termo da equação;
(b) encontrar a energia para o fóton;
(c) encontrar a massa de repouso (expressão para a massa de repouso em função de
Informações dadas explicitamente: a própria equação relacionando
Passo 2
Vamos entender o que cada símbolo significa — devagar e sem pressa, como num papo entre amigos.
-
: é a energia total da partícula medida num dado referencial. “Total” aqui significa que inclui tanto a energia ligada à massa quanto a energia ligada ao movimento. A unidade no Sistema Internacional é o joule , mas na física de partículas usamos frequentemente o electronvolt . -
: é a massa de repouso (também chamada massa invariante). É a massa medida no referencial em que a partícula está em repouso. Essa massa é um número fixo associado à partícula, é invariante entre referenciais. Unidade: quilograma no SI. -
: é a velocidade da luz no vácuo. É uma constante universal; numericamente . Aparece ao quadrado para converter massa em energia (dimensionalmente). -
: é o momento linear relativístico (momentum) da partícula, isto é, a quantidade de movimento que leva em conta efeitos relativísticos. Unidade: .
Comentário intuitivo: a equação diz que a energia total ao quadrado é a soma da energia “de repouso” ao quadrado,
, com o termo relacionado ao movimento,
. Esse formato é parecido com um teorema de Pitágoras: energia total é hipotenusa, componentes são massa e momentum multiplicados por
.
Passo 3
Para consolidar: mostro como essa equação se relaciona com expressões mais familiares. Primeiro introduzimos o fator de Lorentz
onde
é a velocidade da partícula no referencial escolhido. Esse fator aparece sempre que temos efeitos relativísticos. As expressões relativísticas de energia e momentum de uma partícula com massa de repouso
são
Explicando:
é a energia total — quando
temos
e
(energia de repouso). O momentum é
— quando
é pequeno comparado a
,
e isso reduz ao momentum clássico
.
Passo 4
Agora mostro por que aquela equação com quadrados é verdadeira a partir das fórmulas acima. Calculemos
Fatorando
obtemos
Como
, o produto
vale
. Logo
o que reorganizado dá exatamente
Isso demonstra que a equação é consistente com
e
. Interpretação física: a combinação
é invariante entre referenciais e iguala
.
Passo 5
Agora a parte (b): energia do fóton. Um fóton é um quanta de luz; ele viaja sempre à velocidade
e não tem referencial de repouso. Isso significa que a massa de repouso do fóton é nula:
Substituindo na equação dada:
Tirando raiz positiva (energia é positiva),
Isso já é uma forma útil. Podemos ainda ligar
às propriedades de onda do fóton usando a relação de Planck–de Broglie:
Como
é a frequência, obtemos
Também em termos da frequência angular
e da constante reduzida
temos
Resumo: para o fóton temos as formas equivalentes
Passo 6
Dou um pequeno lembrete de unidades para o caso do fóton:
tem unidade
. Assim
tem unidade
como esperado para energia. Se você preferir trabalhar em electronvolts, existe a conversão
.
Passo 7
Agora a parte (c): expressar a massa de repouso em função de
e
. Partimos da equação original e isolamos
:
subtraímos
de ambos os lados:
Tomamos a raiz quadrada (sempre positiva para
):
Finalmente dividimos por
para obter
:
Essa é a fórmula que te permite calcular a massa de repouso a partir da energia total e do momentum medidos num mesmo referencial. Observações úteis:
- Se a partícula estiver em repouso no referencial escolhido, então
e a fórmula reduz para (ou seja, a energia é a energia de repouso). - Para partículas sem massa de repouso (
), o lado direito fica zero, o que implica (o caso do fóton visto no passo anterior). - A quantidade
aqui é invariante: diferentes observadores que medem e obterão o mesmo valor para usando essa fórmula.
Passo 8
Exemplo rápido e prático só para fixar (não é pedido, mas ajuda a entender): se um fóton tem comprimento de onda
então
Substituindo valores (apenas para intuir números) dá energia da ordem de alguns electronvolts, valor típico de fótons visíveis. Isso confirma que a fórmula
é útil na prática.
Passo 9
Recapitulando de maneira amigável: pense na equação como um balanço entre a “energia armazenada na massa”
e a “energia do movimento”
; o quadrado da soma (de forma pitagórica) dá a energia total ao quadrado. Para massa nula, sobra apenas a parte ligada ao momentum; para partícula em repouso, sobra apenas a parte da massa.
Resposta
(a)
é a energia total;
é a massa de repouso;
é a velocidade da luz no vácuo;
é o momentum relativístico.
(b)
(c)
(b)
(c)