Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=x y^{2}+x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x\,y^{2} + x
e pede a sua solução geral. Trata-se de uma equação separável, pois podemos colocar todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e depois integrar cada lado.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e separando as variáveis, obtemos
\frac{dy}{dx} = x\,(y^2+1) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^2+1} = x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda,
\int \frac{dy}{y^2+1} = \arctan\bigl(y\bigr),
e à direita,
\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Logo,
\arctan\bigl(y\bigr) = \frac{x^2}{2} + C.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a tangente em ambos os lados:
y(x) = \tan\!\Bigl(\frac{x^2}{2} + C\Bigr).

Resposta

y(x) = \tan\bigl(\tfrac{x^2}{2} + C\bigr).

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