Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que:
Estamos lidando com funções trigonométricas de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o seno de um número complexo e, em seguida, encontrar o módulo ao quadrado dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que
é um número complexo, que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Sabemos que o seno de um número complexo pode ser expresso da seguinte forma:
Aqui,
e
são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente, que são definidas por:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo ao quadrado de
:
Isso porque, para um número complexo
, o módulo ao quadrado é
.
Passo 5
Vamos expandir as expressões:
Agora, lembremos que a identidade hiperbólica diz:
Isso nos permite substituir
por
:
Passo 6
Distribuindo
:
Observamos que os dois últimos termos têm
em comum:
Passo 7
Sabemos que
(identidade trigonométrica fundamental). Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos
pela sua expressão em termos de exponenciais:
Portanto:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Portanto, mostramos que: