Mostre que:
|sen z|^2=sen^2 x+(e^y-e^-y2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que:
|sen z|^2 = sen^2 x + (e^y - e^-y2)^2
Estamos lidando com funções trigonométricas de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o seno de um número complexo e, em seguida, encontrar o módulo ao quadrado dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que z é um número complexo, que pode ser escrito como z = x + iy , onde x e y são números reais, e i é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, queremos encontrar sen z . Sabemos que o seno de um número complexo pode ser expresso da seguinte forma:
sen(x + iy) = sen x cdot cosh y + i cdot cos x cdot sinh y
Aqui, cosh e sinh são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente, que são definidas por:
cosh y = e^y + e^-y2
sinh y = e^y - e^-y2

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo ao quadrado de sen z :
|sen z|^2 = (sen x cdot cosh y)^2 + (cos x cdot sinh y)^2
Isso porque, para um número complexo a + ib , o módulo ao quadrado é a^2 + b^2 .

Passo 5

Vamos expandir as expressões:
|sen z|^2 = sen^2 x cdot cosh^2 y + cos^2 x cdot sinh^2 y
Agora, lembremos que a identidade hiperbólica diz:
cosh^2 y - sinh^2 y = 1
Isso nos permite substituir cosh^2 y por 1 + sinh^2 y :
|sen z|^2 = sen^2 x (1 + sinh^2 y) + cos^2 x cdot sinh^2 y

Passo 6

Distribuindo sen^2 x :
|sen z|^2 = sen^2 x + sen^2 x cdot sinh^2 y + cos^2 x cdot sinh^2 y
Observamos que os dois últimos termos têm sinh^2 y em comum:
|sen z|^2 = sen^2 x + (sen^2 x + cos^2 x) cdot sinh^2 y

Passo 7

Sabemos que sen^2 x + cos^2 x = 1 (identidade trigonométrica fundamental). Portanto:
|sen z|^2 = sen^2 x + sinh^2 y

Passo 8

Agora, substituímos sinh y pela sua expressão em termos de exponenciais:
sinh y = e^y - e^-y2
Portanto:
sinh^2 y = (e^y - e^-y2)^2

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de |sen z|^2 :
|sen z|^2 = sen^2 x + (e^y - e^-y2)^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
|sen z|^2 = sen^2 x + (e^y - e^-y2)^2

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