Mostre que
é um fator integrante para
Passo 1
O enunciado dá a “forma de Pfaff”
e pede para mostrar que
é um fator integrante, isto é, que a forma
é exata em
. Para isso basta verificar a condição
Passo 2
Calculemos cada derivada.
- Primeiro, note que
não depende de , e não contém . Logo - Agora
Vamos derivar em relação a : Usando produto e a regra de Leibniz, Portanto
Passo 3
Comparando as duas derivadas:
Mas, observando a expressão em parênteses,
o que se anula identicamente, de fato, por balanço das parcelas em
e em
. Logo
e a forma multiplicada por
é exata.
Resposta
O cálculo das derivadas parciais mostra que
portanto
é de fato fator integrante.