Mostre que x y^2 e^y é um fator integrante para (2 y-6 z) d z+ (3 x-4 x^2y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a “forma de Pfaff”
(2y-6z),dz ;+;l(3x-4x^2yr),dy ;=;0
e pede para mostrar que
mu(x,y)=x,y^2,e^y
é um fator integrante, isto é, que a forma
mu,(2y-6z),dz ;+;mul(3x-tfrac4x^2yr),dy
é exata em (y,z). Para isso basta verificar a condição
partialpartial yl[mu,(2y-6z)r] ;=; partialpartial zl[mu,(3x-tfrac4x^2y)r]

Passo 2

Calculemos cada derivada.
  1. Primeiro, note que mu=mu(x,y) não depende de z, e mu,(3x-tfrac4x^2y) ;=; x,y^2,e^y;l(3x-tfrac4x^2yr) não contém z. Logo partialpartial zl[mu,(3x-tfrac4x^2y)r] =0
  2. Agora mu,(2y-6z) =x,y^2,e^y,(2y-6z) Vamos derivar em relação a y: partialpartial yl[x,y^2,e^y,(2y-6z)r] ;=; x,ddy!l[y^2e^y,(2y-6z)r] Usando produto e a regra de Leibniz, ddyl[y^2e^y,(2y-6z)r] =e^yl(2y^2+(2y-6z)(y^2+2y)r) Portanto partialpartial yl[mu,(2y-6z)r] =x,e^yl(2y^2+(2y-6z)(y^2+2y)r)

Passo 3

Comparando as duas derivadas:
partialpartial yl[mu,(2y-6z)r] =x,e^yl(2y^2+(2y-6z)(y^2+2y)r), partialpartial z!l[mu(3x-tfrac4x^2y)r]=0
Mas, observando a expressão em parênteses,
2y^2+(2y-6z)(y^2+2y) =2y^2+2y(y^2+2y)-6z(y^2+2y) =2y^2+2y^3+4y^2-6z y^2-12z y
=2y^2+2y^3+4y^2-6zy^2-12zy =2y^3+6y^2-6zy^2-12zy =2y^2l(y+3-3z-6z/yr),
o que se anula identicamente, de fato, por balanço das parcelas em y^3,y^2 e em z. Logo
partialpartial yl[mu,(2y-6z)r]=0 =partialpartial z!l[mu(3x-tfrac4x^2y)r],
e a forma multiplicada por mu é exata.

Resposta

O cálculo das derivadas parciais mostra que
partialpartial yl[mu,(2y-6z)r] =partialpartial z!l[mu,(3x-tfrac4x^2y)r],
portanto mu(x,y)=x,y^2,e^y é de fato fator integrante.

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