A equação f(x)=x e^{-x}-0.1 descreve o modelo de uni circuito elétrico. Utilize o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=0.1 e x_{1}=1 para encontrar a raiz. Realize até 6 iterações e mostre o erro aproximado em cada uma.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=x\,e^{-x}-0.1
usando o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=0.1 e x_{1}=1. O conteúdo aqui é método iterativo de aproximação de raízes e precisaremos da fórmula da secante e de uma medida de erro aproximado para cada iteração.

Passo 2

A fórmula da secante para gerar x_{n+1} é
x_{n+1} = x_n \;-\; f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,f(x_n)-f(x_{n-1})\,}
e o erro aproximado na iteração n+1 podemos medir como
e_{n+1} = \bigl|\,x_{n+1}-x_n\bigr|.

Passo 3

Calculamos primeiro
f(x_0)=0.1\,e^{-0.1}-0.1\approx -0.0095163,
f(x_1)=1\,e^{-1}-0.1\approx 0.2678794.
Aplicando a fórmula da secante:
x_2 = 1 \;-\; 0.2678794 \;\frac{1-0.1}{0.2678794 -(-0.0095163)} \approx 0.1309760.
O erro aproximado é
e_2 = |0.1309760 - 1| \approx 0.8690240.

Passo 4

Agora
f(x_2) =0.1309760\,e^{-0.1309760}-0.1\approx 0.0149098, \quad f(x_1)\approx 0.2678794.
Logo
x_3 = 0.1309760 \;-\; 0.0149098 \;\frac{0.1309760-1}{0.0149098-0.2678794} \approx 0.0797440,
e_3 = |0.0797440 - 0.1309760| \approx 0.0512320.

Passo 5

Em seguida
f(x_3) =0.0797440\,e^{-0.0797440}-0.1\approx -0.0263718, \quad f(x_2)\approx 0.0149098.
Ficamos com
x_4 = 0.0797440 \;-\; (-0.0263718) \;\frac{0.0797440-0.1309760}{-0.0263718-0.0149098} \approx 0.1124480,
e_4 = |0.1124480 - 0.0797440| \approx 0.0327040.

Passo 6

Depois
f(x_4) =0.1124480\,e^{-0.1124480}-0.1\approx 0.0004583, \quad f(x_3)\approx -0.0263718.
Aplicando a secante:
x_5 = 0.1124480 \;-\; 0.0004583 \;\frac{0.1124480-0.0797440}{0.0004583 -(-0.0263718)} \approx 0.1118891,
e_5 = |0.1118891 - 0.1124480| \approx 0.0005589.

Passo 7

Por fim
f(x_5) =0.1118891\,e^{-0.1118891}-0.1\approx 0.0000620, \quad f(x_4)\approx 0.0004583.
Temos
x_6 = 0.1118891 \;-\; 0.0000620 \;\frac{0.1118891-0.1124480}{0.0000620-0.0004583} \approx 0.1118016,
e_6 = |0.1118016 - 0.1118891| \approx 0.0000875.

Resposta

Após 6 iterações obtemos as aproximações e erros: x_2\approx0.1309760, e_2\approx0.8690240 x_3\approx0.0797440, e_3\approx0.0512320 x_4\approx0.1124480, e_4\approx0.0327040 x_5\approx0.1118891, e_5\approx0.0005589 x_6\approx0.1118016, e_6\approx0.0000875.

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