Use o método da bisseção para encontrar uma aproximação da raiz da equação f(x)=\cos (x)-x no intervalo [0,1]. Realize cinco iteraçūes e apresente os valores intermediários.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz da equação
f(x)=\cos(x)-x=0
no intervalo [0,1] usando o método da bisseção. Esse método exige que f seja contínua e que haja mudança de sinal em f(a) e f(b), garantindo a existência de pelo menos uma raiz em [a,b]. Vamos iterar cinco vezes, em cada passo calculando o ponto médio do intervalo e avaliando o sinal de f para decidir o novo subintervalo.

Passo 2

Avaliar os extremos iniciais:
f(0)=\cos(0)-0=1>0, \qquad f(1)=\cos(1)-1\approx -0,4597<0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, existe raiz em [0,1].

Passo 3

Iteração 1: c_1=(0+1)/2=0,5.
f(0,5)=\cos(0,5)-0,5\approx0,8776-0,5=0,3776>0.
Como f(c_1)>0, substituímos a\leftarrow c_1, ficando o novo intervalo [0,5,\;1].

Passo 4

Iteração 2: c_2=(0,5+1)/2=0,75.
f(0,75)=\cos(0,75)-0,75\approx0,7317-0,75=-0,0183<0.
Como f(c_2)<0, substituímos b\leftarrow c_2, ficando o novo intervalo [0,5,\;0,75].

Passo 5

Iteração 3: c_3=(0,5+0,75)/2=0,625.
f(0,625)=\cos(0,625)-0,625\approx0,8110-0,625=0,1860>0.
Como f(c_3)>0, substituímos a\leftarrow c_3, ficando o novo intervalo [0,625,\;0,75].

Passo 6

Iteração 4: c_4=(0,625+0,75)/2=0,6875.
f(0,6875)=\cos(0,6875)-0,6875\approx0,7720-0,6875=0,0845>0.
Como f(c_4)>0, substituímos a\leftarrow c_4, ficando o novo intervalo [0,6875,\;0,75].

Passo 7

Iteração 5: c_5=(0,6875+0,75)/2=0,71875.
f(0,71875)=\cos(0,71875)-0,71875\approx0,7524-0,71875=0,0336>0.
Como f(c_5)>0, substituímos a\leftarrow c_5, ficando o novo intervalo [0,71875,\;0,75].

Resposta

Apresentamos os valores de cada iteração e, ao final, a aproximação da raiz:
Iteração 1: a_0=0, b_0=1, c_1=0,5000, f(c_1)\approx0,3776
Iteração 2: a_1=0,5000, b_1=1, c_2=0,7500, f(c_2)\approx-0,0183
Iteração 3: a_2=0,5000, b_2=0,7500, c_3=0,6250, f(c_3)\approx0,1860
Iteração 4: a_3=0,6250, b_3=0,7500, c_4=0,6875, f(c_4)\approx0,0845
Iteração 5: a_4=0,6875, b_4=0,7500, c_5=0,71875, f(c_5)\approx0,0336 A aproximação da raiz após cinco iterações é
x\approx0,71875.

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