Utilize o método da falsa posição para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 no intervalo [1,3]. Sabendo que a raiz real é 1, calcule o erro verdadeiro ao final de cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da falsa posição (regula falsi) em [1,3] para aproximar a raiz de
f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6
e, como sabe-se que a raiz exata é x=1, calcular o erro verdadeiro \bigl|x_{\text{aprox}}-1\bigr| após cada iteração.

Passo 2

Para aplicar a falsa posição precisamos de um intervalo [a,b] tal que
f(a)\cdot f(b)<0,
isto é, há mudança de sinal em a e b, garantindo que exista pelo menos uma raiz interna.

Passo 3

Calculamos
f(1)=1-6+11-6=0, \quad f(3)=27-54+33-6=0.
Logo
f(1)\cdot f(3)=0\cdot 0=0\ge0,
não havendo mudança de sinal em [1,3].

Passo 4

Como não existe troca de sinal em [1,3], o método da falsa posição não pode ser iniciado nesse intervalo: a fórmula de iteração
x_{\mathrm{new}} = \frac{b\,f(a)-a\,f(b)}{f(a)-f(b)}
ficaria com denominador zero ou sem garantir contrair o intervalo.

Resposta

Não há como aplicar o método da falsa posição em [1,3] porque f(1)\cdot f(3)=0, sem mudança de sinal. Portanto não é possível gerar iterações nem erros verdadeiros.

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