A equação da forma reduz-se a variáveis separáveis fazendo . Calculando e substituindo em (1). Fazendo esta mudança de variável resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
reconhecendo que ela é da forma . Vamos usar a variável auxiliar
com , , , de modo a transformar a equação num problema de variáveis separáveis.
Passo 2
Com temos
Também
Substituindo na expressão de :
Passo 3
Obtivemos a EDO em :
que é separável. Escrevemos
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a divisão
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Portanto
tfrac12,z + tfrac14 lnl|2z+1r| = x + C2
Passo 5
Voltando a y, lembre que z = x - y. Assim
tfrac12,(x-y) + tfrac14 lnl|2(x-y)+1r| = x + C2
Podemos deixar a solução de forma implícita, ou resolver explicitamente via a função de Lambert W. Escrevendo
u = 2(x-y)+1 Longrightarrow u - 1 = 2(x-y),
a condição se torna
tfrac12,(u-1) + tfrac14ln|u| = x + C2 ;Longrightarrow; u + ln|u| = 4x + C3
Logo
u,e^u = e^4x+C3 = C,e^4x,
u = Wl(C,e^4xr)
Voltando a y:
2(x-y) +1 = Wl(C,e^4xr) Longrightarrow y = x + 1 - Wl(C,e^4xr)2
Resposta
A solução geral é
y(x) = x + 1 - Wl(C,e^4xr)2,
onde W é a função de Lambert e C é constante arbitrária.