A equação da forma y^prime=f(a x+b y+c)(1) reduz-se a variáveis separáveis fazendo z=a x+ b y+c. Calculando z^prime=a+b y^prime e substituindo y^prime em (1). Fazendo esta mudança de variável resolva as seguintes equações diferenciais.
y^prime=x-yy-x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = x - yy - x - 1
reconhecendo que ela é da forma y' = f(ax + by + c). Vamos usar a variável auxiliar
z = a x + b y + c
com a = 1, b = -1, c = 0, de modo a transformar a equação num problema de variáveis separáveis.

Passo 2

Com z = x - y temos
y' = x - y,y - x - 1, = z-(z+1) = -zz+1
Também
z' = dzdx = a + b,y' = 1 - y'
Substituindo y' na expressão de z':
z' = 1 - l(-zz+1r) = 1 + zz+1 = (z+1)+zz+1 = 2z+1z+1

Passo 3

Obtivemos a EDO em z:
dzdx = 2z+1z+1,
que é separável. Escrevemos
z+12z+1,dz = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral z+12z+1,dz = integral dx
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a divisão
z+12z+1 = 12 + 12cdot12z+1,
logo
integral z+12z+1,dz = integral l(tfrac12 + tfrac1212z+1r),dz = tfrac12,z + tfrac14 lnl|2z+1r| + C1
Portanto
tfrac12,z + tfrac14 lnl|2z+1r| = x + C2

Passo 5

Voltando a y, lembre que z = x - y. Assim
tfrac12,(x-y) + tfrac14 lnl|2(x-y)+1r| = x + C2
Podemos deixar a solução de forma implícita, ou resolver explicitamente via a função de Lambert W. Escrevendo
u = 2(x-y)+1 Longrightarrow u - 1 = 2(x-y),
a condição se torna
tfrac12,(u-1) + tfrac14ln|u| = x + C2 ;Longrightarrow; u + ln|u| = 4x + C3
Logo
u,e^u = e^4x+C3 = C,e^4x,
u = Wl(C,e^4xr)
Voltando a y:
2(x-y) +1 = Wl(C,e^4xr) Longrightarrow y = x + 1 - Wl(C,e^4xr)2

Resposta

A solução geral é
y(x) = x + 1 - Wl(C,e^4xr)2,
onde W é a função de Lambert e C é constante arbitrária.

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