Qual é a menor capacidade de um reservatório que se pode encher em um número exatao de minutos por qualquer de três torneiras que joram: a primeira, 12 litros por minuto; a segunda, 18 litros por minuto e a terceira, 20 litros por minutos?

Passo 1

O enunciado pede a menor capacidade de um reservatório que seja preenchido em um número inteiro de minutos por qualquer uma das três torneiras, com vazões de 12 L/min, 18 L/min e 20 L/min. Isso é equivalente a encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) de 12, 18 e 20, pois queremos um volume V tal que V/12, V/18 e V/20 sejam inteiros.

Passo 2

Vamos fatorar cada vazão em fatores primos:
12 = 2^2 times 3, 18 = 2 times 3^2, 20 = 2^2 times 5

Passo 3

Para obter o MMC, tomamos a maior potência de cada primo:
  • Para 2: maior potência é 2^2 (presente em 12 e 20).
  • Para 3: maior potência é 3^2 (presente em 18).
  • Para 5: maior potência é 5 (presente em 20).
Logo,
MMC(12,18,20) = 2^2 times 3^2 times 5 = 4 times 9 times 5 = 180

Passo 4

Verificando os tempos de enchimento:
  • Com 12 L/min: 180/12 = 15 minutos.
  • Com 18 L/min: 180/18 = 10 minutos.
  • Com 20 L/min: 180/20 = 9 minutos.
    Em todos os casos temos um número inteiro de minutos.

Resposta

A menor capacidade é de 180 litros.

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