A equação \mathrm{N}_{\mathrm{Az}}=\left(\mathrm{cD}_{\mathrm{AB} / \mathrm{z}}\right) \ln \left[\left(1-\mathrm{y}_{\mathrm{A} 2}\right) /\left(1-\mathrm{y}_{\mathrm{A} 1}\right)\right] é válida quando ocorre:
a) Difusão equimolar
b) Convecção pura
c) A em B estagnado
d) Regime transiente

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
\mathrm{N}_{\mathrm{Az}}=\left(\mathrm{cD}_{\mathrm{AB} / \mathrm{z}}\right)\ln\!\left[\frac{1-\mathrm{y}_{\mathrm{A}2}}{1-\mathrm{y}_{\mathrm{A}1}}\right]
e pergunta em qual situação essa fórmula é válida, oferecendo as alternativas:
  • a) Difusão equimolar
  • b) Convecção pura
  • c) A em B estagnado
  • d) Regime transiente
Dados explícitos fornecidos pelo enunciado:
  • A expressão dá o fluxo molar de A na direção z: \mathrm{N}_{\mathrm{Az}}.
  • Aparecem as grandezas: c (concentração molar total), D_{AB} (coeficiente de difusão binária), z (espessura / comprimento do caminho de difusão) e y_A (fração molar de A) em dois pontos (índices 1 e 2).
  • A expressão envolve um logaritmo do tipo \ln\big((1-y_{A2})/(1-y_{A1})\big).

Passo 2

Entender o que cada símbolo significa (para não ficar perdido na prova):
  • \mathrm{N}_{\mathrm{Az}} é o fluxo molar total de A na direção z (unidade típica: mol m^{-2} s^{-1}).
  • c é a concentração molar total do gás (mol m^{-3}), frequentemente c = p/(RT) se for gás ideal e temperatura/pressão conhecidas.
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão binária de A em B (m^{2} s^{-1}).
  • y_A é a fração molar de A (adimensional). y_{A1} e y_{A2} são os valores em duas posições (por exemplo nas duas faces de uma membrana ou nos dois limites de um filme).
  • z é a espessura ou comprimento no qual se integra (m).
Vou agora mostrar de onde vem essa fórmula e, ao fazer isso, ficará óbvio em que hipótese ela é derivada.

Passo 3

Começamos da equação de balanço relacionando fluxo total e fluxo difusivo. Para mistura binária unidimensional, a expressão geral que relaciona o fluxo total de A ( N_A), o fluxo difusivo relativo J_A e a fração molar é
N_A = J_A + y_A N,
onde N é o fluxo molar total (soma de N_A+N_B). A forma de Fick (na forma comum usada aqui) dá o fluxo difusivo relativo como
J_A = - c D_{AB}\,\frac{d y_A}{d z}.
Essas fórmulas são padrão em problemas de difusão em gases (explicação curta: J_A é o termo puramente difusivo associado ao gradiente de fração molar; o termo y_A N é o transporte convectivo associado ao movimento global da mistura).

Passo 4

Agora aplicamos a hipótese física “B estagnado” (que corresponde à alternativa c). “B estagnado” significa que não há fluxo macroscópico de B: \mathrm{N}_B=0. Como N=N_A+N_B, segue que N=N_A. Substituindo J_A na equação do passo anterior:
N_A = - c D_{AB}\,\frac{d y_A}{d z} + y_A N_A.
Reorganizando (colocando todos os termos com N_A do lado esquerdo):
N_A(1 - y_A) = - c D_{AB}\,\frac{d y_A}{d z}.

Passo 5

Isolar variáveis e integrar para obter a expressão entre y_{A1} e y_{A2} ao longo de uma espessura z. Reescrevendo:
\frac{N_A}{c D_{AB}}\,dz = -\frac{1}{1 - y_A}\,dy_A.
Agora integramos de z=0 a z=z (comprimento total) e de y_{A1} a y_{A2}:
\int_{0}^{z}\frac{N_A}{c D_{AB}}\,dz = -\int_{y_{A1}}^{y_{A2}}\frac{1}{1 - y_A}\,dy_A.
A integral à esquerda é trivial (constante em z no estado estacionário), e à direita obtemos um logaritmo:
\frac{N_A}{c D_{AB}}\,z = -\left[ -\ln(1 - y_A) \right]_{y_{A1}}^{y_{A2}} = -\ln\!\left(\frac{1 - y_{A2}}{1 - y_{A1}}\right).
Portanto,
N_A = -\frac{c D_{AB}}{z}\,\ln\!\left(\frac{1 - y_{A2}}{1 - y_{A1}}\right).
Observação sobre o sinal: a forma dada no enunciado
\mathrm{N}_{\mathrm{Az}}=\left(\mathrm{cD}_{\mathrm{AB} / \mathrm{z}}\right)\ln\!\left[\frac{1-\mathrm{y}_{\mathrm{A}2}}{1-\mathrm{y}_{\mathrm{A}1}}\right]
pode diferir por um sinal dependendo da convenção de direção (ou da ordem dos índices 1 e 2). O importante é que a dedução que levou ao logaritmo parte da hipótese \mathrm{N}_B=0 (B estagnado) e do regime estacionário.

Passo 6

Explicar por que as outras alternativas estão erradas:
  • a) Difusão equimolar: em difusão equimolar (contra-difusão equimolar) temos N = N_A + N_B = 0. Nesse caso o termo convectivo some e a equação simples de Fick dá uma relação linear em y_A (não um logaritmo). Assim a expressão com log não corresponde ao caso equimolar.
  • b) Convecção pura: se o transporte fosse só convecção, o fluxo seria simplesmente N_A = c\,y_A\,v (proporcional à velocidade). Não aparece coeficiente D_{AB} nem logaritmo; portanto não é convecção pura.
  • d) Regime transiente: a dedução acima assumiu estado estacionário (não dependência explícita do tempo) e integrou em z. No regime transiente, surgem derivadas temporais e a solução é bem diferente (dependência temporal, normalmente séries ou funções de erro), logo a fórmula não é válida.

Passo 7

Resumo didático (como lembrar na prova): quando a espécie B está estagnada ( \mathrm{N}_B=0) surge o fator (1-y_A) multiplicando \mathrm{N}_A na equação diferencial; ao integrar dá o logaritmo \ln\big((1-y_{A2})/(1-y_{A1})\big). Se, em vez disso, o fluxo total fosse zero ( N=0, caso equimolar), teria-se integração direta de dy_A dando dependência linear, não logarítmica. Portanto a presença do log indica o caso “A difunde através de B estagnado” em regime estacionário.

Resposta

c) A em B estagnado

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