A equação
é válida quando ocorre:
a) Difusão equimolar
b) Convecção pura
c) A em B estagnado
d) Regime transiente
a) Difusão equimolar
b) Convecção pura
c) A em B estagnado
d) Regime transiente
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
e pergunta em qual situação essa fórmula é válida, oferecendo as alternativas:
- a) Difusão equimolar
- b) Convecção pura
- c) A em B estagnado
- d) Regime transiente
Dados explícitos fornecidos pelo enunciado:
- A expressão dá o fluxo molar de
na direção : . - Aparecem as grandezas:
(concentração molar total), (coeficiente de difusão binária), (espessura / comprimento do caminho de difusão) e (fração molar de ) em dois pontos (índices e ). - A expressão envolve um logaritmo do tipo
.
Passo 2
Entender o que cada símbolo significa (para não ficar perdido na prova):
-
é o fluxo molar total de na direção (unidade típica: mol m^{-2} s^{-1}). -
é a concentração molar total do gás (mol m^{-3}), frequentemente se for gás ideal e temperatura/pressão conhecidas. -
é o coeficiente de difusão binária de em (m^{2} s^{-1}). -
é a fração molar de (adimensional). e são os valores em duas posições (por exemplo nas duas faces de uma membrana ou nos dois limites de um filme). -
é a espessura ou comprimento no qual se integra (m).
Vou agora mostrar de onde vem essa fórmula e, ao fazer isso, ficará óbvio em que hipótese ela é derivada.
Passo 3
Começamos da equação de balanço relacionando fluxo total e fluxo difusivo. Para mistura binária unidimensional, a expressão geral que relaciona o fluxo total de
(
), o fluxo difusivo relativo
e a fração molar é
onde
é o fluxo molar total (soma de
). A forma de Fick (na forma comum usada aqui) dá o fluxo difusivo relativo como
Essas fórmulas são padrão em problemas de difusão em gases (explicação curta:
é o termo puramente difusivo associado ao gradiente de fração molar; o termo
é o transporte convectivo associado ao movimento global da mistura).
Passo 4
Agora aplicamos a hipótese física “B estagnado” (que corresponde à alternativa c). “B estagnado” significa que não há fluxo macroscópico de
:
. Como
, segue que
. Substituindo
na equação do passo anterior:
Reorganizando (colocando todos os termos com
do lado esquerdo):
Passo 5
Isolar variáveis e integrar para obter a expressão entre
e
ao longo de uma espessura
. Reescrevendo:
Agora integramos de
a
(comprimento total) e de
a
:
A integral à esquerda é trivial (constante em
no estado estacionário), e à direita obtemos um logaritmo:
Portanto,
Observação sobre o sinal: a forma dada no enunciado
pode diferir por um sinal dependendo da convenção de direção (ou da ordem dos índices 1 e 2). O importante é que a dedução que levou ao logaritmo parte da hipótese
(B estagnado) e do regime estacionário.
Passo 6
Explicar por que as outras alternativas estão erradas:
- a) Difusão equimolar: em difusão equimolar (contra-difusão equimolar) temos
. Nesse caso o termo convectivo some e a equação simples de Fick dá uma relação linear em (não um logaritmo). Assim a expressão com log não corresponde ao caso equimolar. - b) Convecção pura: se o transporte fosse só convecção, o fluxo seria simplesmente
(proporcional à velocidade). Não aparece coeficiente nem logaritmo; portanto não é convecção pura. - d) Regime transiente: a dedução acima assumiu estado estacionário (não dependência explícita do tempo) e integrou em
. No regime transiente, surgem derivadas temporais e a solução é bem diferente (dependência temporal, normalmente séries ou funções de erro), logo a fórmula não é válida.
Passo 7
Resumo didático (como lembrar na prova): quando a espécie
está estagnada (
) surge o fator
multiplicando
na equação diferencial; ao integrar dá o logaritmo
. Se, em vez disso, o fluxo total fosse zero (
, caso equimolar), teria-se integração direta de
dando dependência linear, não logarítmica. Portanto a presença do log indica o caso “A difunde através de B estagnado” em regime estacionário.
Resposta
c) A em B estagnado