7.1 A equação mostrada a seguir é uma das formas da Equação de Bernoulli. Identifique as propriedades termodinâmicas que aparecem na equação e explique para quais condições de escoamento essa equação pode ser utilizada, bem como as suas aplicações e limitações de uso.
\frac{p_{1}}{\rho}+\frac{V_{1}^{2}}{2}+g z_{1}=\frac{p_{2}}{\rho}+\frac{V_{2}^{2}}{2}+g z_{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a forma clássica da Equação de Bernoulli para um fluido incompressível e sem atrito ao longo de uma linha de corrente:
\frac{p_{1}}{\rho} + \frac{V_{1}^{2}}{2} + g\,z_{1} \;=\; \frac{p_{2}}{\rho} + \frac{V_{2}^{2}}{2} + g\,z_{2}
Aqui o conteúdo é Mecânica dos Fluidos e iremos usar as noções de energia por unidade de massa (pressão, cinética e potencial) sob as hipóteses de escoamento estacionário, incompressível e sem trocas de calor nem trabalho externo.

Passo 2

Identificamos as propriedades termodinâmicas e de estado que aparecem na equação:
  • p é a pressão estática do fluido (energia de pressão por unidade de volume);
  • \rho é a densidade do fluido (massa por unidade de volume);
  • V é a velocidade média do fluido na seção considerada (energia cinética por unidade de massa: \tfrac{V^2}{2});
  • z é a cota geométrica em relação a um datum escolhida (energia potencial gravitacional por unidade de massa: g\,z).

Passo 3

Condições de validade da Equação de Bernoulli nesta forma
  1. Escoamento estacionário: todas as grandezas ( p, V, \rho, z) não variam no tempo;
  2. Fluido incompressível: \rho= constante ao longo do escoamento;
  3. Sem atrito interno (fluido ideal) e sem perda de carga por viscosidade;
  4. Sem adição ou remoção de calor e sem trabalho de bomba ou turbina entre as seções 1 e 2;
  5. Válida ao longo de uma mesma linha de corrente (ou em um escoamento potencial).

Passo 4

Principais aplicações
  • Cálculo de alturas manométricas em tubulações lisas;
  • Dimensionamento de medidores de vazão por Venturi, orifício ou tubo de Pitot;
  • Análise de carga disponível para bombas e turbinas em sistemas hidráulicos;
  • Estimativa de variação de pressão em canais abertos de fluxo lento e calmo.

Passo 5

Limitações de uso
  • Quando há perdas de carga significativas por atrito, turbilhonamento ou mudanças bruscas de seção, deve-se acrescentar termos de perda de carga \,h_{\ell};
  • Para fluidos compressíveis (gases em escoamentos de Mach moderado ou alto) a densidade varia e é preciso usar forma expandida com entalpia específica;
  • Em escoamentos não estacionários (pulsantes ou transientes) a equação não se aplica sem incluir o termo de aceleração local;
  • Na presença de adição de calor ou trabalho externo (trocadores de calor, bombas, turbinas), a forma simples deve ser ajustada pela primeira lei da termodinâmica (incluir entalpia e termos de trabalho).

Resposta

As propriedades termodinâmicas na equação são pressão p e densidade \rho, além de energia cinética \tfrac{V^2}{2} e potencial gravitacional g\,z. A equação vale para escoamento estacionário, incompressível e sem atrito, sendo usada em análise de tubulações, medidores de vazão e hidráulica geral; perde validade quando há perdas de carga, compressibilidade, trabalho ou troca de calor significativos.

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