7.5 Um tubo de água horizontal com diâmetro de 6 cm se expande gradualmente até um tubo de 9 cm de diâmetro. As paredes da seção de expansão têm ângulo de 30^{\circ} em relação ao eixo. A velocidade média na entrada é de 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a perda de carga e a velocidade na saída da seção de expansão.
Expansão:
K_{L}=0,02 para \theta=30^{\circ}
K_{L}=0,04 para \theta=45^{\circ}
K_{L}=0,07 para \theta=60^{\circ}

Passo 1

O enunciado descreve um tubo horizontal que se alarga de diâmetro d_{1}=6\\ \mathrm{cm} até d_{2}=9\\ \mathrm{cm}. A velocidade média na entrada é v_{1}=7\\ \mathrm{m/s} e as paredes formam \theta=30^\circ com o eixo. Para resolver, vamos usar:
– Equação da continuidade ( A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}).
– Fórmula de perda de carga localizada
h_{L}=K_{L}\,\frac{v_{1}^{2}}{2g},
onde para \theta=30^\circ temos K_{L}=0{,}02 e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Calculamos as áreas das seções:
A_{1}=\pi\Bigl(\frac{d_{1}}{2}\Bigr)^{2} =\pi\Bigl(\frac{0{,}06}{2}\Bigr)^{2} =\pi\,(0{,}03)^{2} =2{,}827\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},
A_{2}=\pi\Bigl(\frac{d_{2}}{2}\Bigr)^{2} =\pi\Bigl(\frac{0{,}09}{2}\Bigr)^{2} =\pi\,(0{,}045)^{2} =6{,}362\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Pela continuidade,
v_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}}\,v_{1} =\frac{2{,}827\times10^{-3}}{6{,}362\times10^{-3}}\times7 \approx3{,}11\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a perda de carga localizada é
h_{L} =K_{L}\,\frac{v_{1}^{2}}{2g} =0{,}02\;\frac{7^{2}}{2\cdot9{,}81} =0{,}02\;\frac{49}{19{,}62} \approx0{,}050\\ \mathrm{m}.

Resposta

Velocidade na saída: v_{2}\approx3{,}11\\ \mathrm{m/s}
Perda de carga localizada: h_{L}\approx0{,}05\\ \mathrm{m}

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