8.4 Uma tubulação de cobre não isolada de 60 mm de diâmetro externo, 6 mm de espessura e 5 metros de comprimento é utilizada para transporte de água quente. A temperatura na superfície do tubo é de 75^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura média das vizinhanças, inclusive do ar ambiente, é de 18^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade térmica do cobre é de 400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. O coeficiente de convecção vale 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a emissividade do tubo é igual a 0,80 . Determine:
(a) A taxa de transferência de calor por convecção.
(b) A taxa de transferência de calor por radiação.
(c) A taxa de transferência de calor por condução.
(d) A temperatura na superfície interna do tubo ( \mathrm{T}_{1} ).

Passo 1

O enunciado descreve um tubo cilíndrico de cobre, de comprimento L=5\\ \mathrm{m}, diâmetro externo D_o=60\\ \mathrm{mm} e espessura 6\\ \mathrm{mm}, submetido a uma temperatura na superfície externa T_o=75\,^{\circ}\mathrm{C} e temperatura ambiente T_\infty=18\,^{\circ}\mathrm{C}. Queremos calcular (a) a taxa de calor por convecção, (b) por radiação, (c) por condução através da parede e (d) a temperatura na superfície interna T_i. Usaremos: área externa A_o=\pi D_o L, coeficiente de convecção h=25\\ \mathrm{W/m^2K}, emissividade \varepsilon=0{,}80, k_{\rm Cu}=400\\ \mathrm{W/mK} e a lei do corpo negro com \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4}.

Passo 2

Calculamos a área externa do tubo e a taxa de calor por convecção:
A_o = \pi D_o L = \pi\,(0{,}06\\ \mathrm{m})\,(5\\ \mathrm{m}) = 0{,}9425\\ \mathrm{m^2}.
A diferença de temperatura é \Delta T = T_o - T_\infty = 75 - 18 = 57\\ \mathrm{K}. Logo,
Q_{\rm conv} = h\,A_o\,\Delta T = 25 \times 0{,}9425 \times 57 = 1\,343\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Agora a taxa de calor por radiação entre a superfície a T_o=348{,}15\\ \mathrm{K} e o ambiente a T_\infty=291{,}15\\ \mathrm{K}:
Q_{\rm rad} = \varepsilon\,\sigma\,A_o\bigl(T_o^4 - T_\infty^4\bigr).
Calculando T_o^4 - T_\infty^4\approx7{,}50\times10^9\\ \mathrm{K^4}, obtemos
Q_{\rm rad} = 0{,}80 \times 5{,}67\times10^{-8}\times0{,}9425 \times 7{,}50\times10^9 \approx 321\\ \mathrm{W}.

Passo 4

A taxa de condução pelo tubo em regime permanente é igual à soma Q_{\rm cond}=Q_{\rm conv}+Q_{\rm rad}=1\,343+321=1\,664\\ \mathrm{W}. O valor de Q_{\rm cond} também é dado por
Q_{\rm cond} = \frac{T_i - T_o}{R_{\rm cond}}, \qquad R_{\rm cond} = \frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L},
onde r_o=D_o/2=0{,}03\\ \mathrm{m} e r_i=r_o-0{,}006=0{,}024\\ \mathrm{m}. Calculamos
R_{\rm cond} = \frac{\ln(0{,}03/0{,}024)}{2\pi\times400\times5} =1{,}78\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Da relação Q_{\rm cond}=(T_i - T_o)/R_{\rm cond} segue
T_i - T_o = Q_{\rm cond}\,R_{\rm cond} =1\,664 \times 1{,}78\times10^{-5} =0{,}0295\\ \mathrm{K},
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T_i = 75 + 0{,}0295 = 75{,}03\,^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

(a) Q_{\rm conv}=1{,}343\\ \mathrm{kW}
(b) Q_{\rm rad}=0{,}321\\ \mathrm{kW}
(c) Q_{\rm cond}=1{,}664\\ \mathrm{kW}
(d) T_i=75{,}03\,^{\circ}\mathrm{C}

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