Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+9 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1,

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 9y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo aqui é resolver EDOs lineares homogêneas usando a equação característica, e depois ajustar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Assumimos solução da forma y=e^rt. Substituindo em y''+9y=0 obtemos a equação característica
r^2 + 9 = 0
cujas raízes são
r = pm 3,i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r=pm 3i, a solução geral é
y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = -3,C1sin(3t) + 3,C2cos(3t)
Em t=0:
y(0)=C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 0,
y'(0) = -3,C1cdot0 + 3,C2cdot1 = 3,C2 = 1 Longrightarrow C2 = 13

Passo 5

Substituindo C1=0 e C2=tfrac13 na solução geral, obtemos a solução particular
y(t) = 13,sin(3t)

Resposta

y(t) = 13sin(3t)

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