Equação Não Exata - Fator de Integração Verifique se a equação
é exata. Caso não seja, determine um fator integrante adequado (dependente de
ou
e resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial total
O que ele pede:
- Verificar se essa equação é exata.
- Caso não seja exata, encontrar um fator integrante dependente só de
ou só de que a torne exata e então resolver. - Se for exata, resolver diretamente.
Informações relevantes fornecidas:
- Podemos identificá-la como uma equação da forma
com e . - A incógnita é uma função
implícita na equação; a solução geral será dada implicitamente por uma função (constante).
Passo 2
O que significa ser “exata” e como verificar: uma equação
é exata se existir uma função
tal que
Uma condição prática e simples para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é checar se
Aqui
e
. Vou calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calcule
e
:
Como
(ambas iguais a
), a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata — não precisamos buscar fator integrante.
Passo 4
Método para resolver uma equação exata (explicação didática): buscar uma função potencial
tal que
e
. Para isso integramos
em relação a
(tratando
como constante) e adicionamos uma função arbitrária
que pode aparecer da integração:
Faço a integração termo a termo:
é constante na integração em
, então
. E
. Assim,
onde
é uma função desconhecida que depende só de
.
Passo 5
Agora imposto que
. Primeiro calculo
a partir da expressão encontrada:
Isso deve ser igual a
. Logo
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Passo 6
Integro
em relação a
:
onde
é constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita, então basta tomar
para montar
.
Passo 7
Reescrevo a função potencial
com
encontrado:
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
. Podemos eliminar
e escrever a solução geral como
onde
é constante arbitrária (absorvendo o sinal de
).
Passo 8
Verificação rápida (sanity check): derivando a expressão
obtemos
o que confirma que a solução implícita está correta.