Equação Não Exata - Fator de Integração Verifique se a equação
(y-2 x) d x+(x-y) d y=0
é exata. Caso não seja, determine um fator integrante adequado (dependente de x ou y) e resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial total
(y-2x)\,dx + (x-y)\,dy = 0.
O que ele pede:
  • Verificar se essa equação é exata.
  • Caso não seja exata, encontrar um fator integrante dependente só de x ou só de y que a torne exata e então resolver.
  • Se for exata, resolver diretamente.
Informações relevantes fornecidas:
  • Podemos identificá-la como uma equação da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y-2x e N(x,y)=x-y.
  • A incógnita é uma função y(x) implícita na equação; a solução geral será dada implicitamente por uma função \Psi(x,y)=C (constante).

Passo 2

O que significa ser “exata” e como verificar: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática e simples para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é checar se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui M(x,y)=y-2x e N(x,y)=x-y. Vou calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y-2x)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} (ambas iguais a 1), a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata — não precisamos buscar fator integrante.

Passo 4

Método para resolver uma equação exata (explicação didática): buscar uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Para isso integramos M em relação a x (tratando y como constante) e adicionamos uma função arbitrária h(y) que pode aparecer da integração:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int (y-2x)\,dx.
Faço a integração termo a termo: y é constante na integração em x, então \int y\,dx = yx. E \int -2x\,dx = -x^2. Assim,
\Psi(x,y)=yx - x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida que depende só de y.

Passo 5

Agora imposto que \Psi_y=N. Primeiro calculo \Psi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big( yx - x^2 + h(y)\big) = x + h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=x-y. Logo
x + h'(y) = x - y.
Subtraindo x dos dois lados obtemos
h'(y) = -y.

Passo 6

Integro h'(y)= -y em relação a y:
h(y) = \int -y\,dy = -\frac{y^2}{2} + C_1,
onde C_1 é constante. Podemos absorver C_1 na constante final da solução implícita, então basta tomar h(y)=-\frac{y^2}{2} para montar \Psi.

Passo 7

Reescrevo a função potencial \Psi(x,y) com h(y) encontrado:
\Psi(x,y)=yx - x^2 - \frac{y^2}{2} + C_1.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \Psi(x,y)=\text{constante}. Podemos eliminar C_1 e escrever a solução geral como
yx - x^2 - \frac{y^2}{2} = C,
onde C é constante arbitrária (absorvendo o sinal de C_1).

Passo 8

Verificação rápida (sanity check): derivando a expressão \Psi(x,y)=yx - x^2 - \frac{y^2}{2} obtemos
\Psi_x = y - 2x = M,\qquad \Psi_y = x - y = N,
o que confirma que a solução implícita está correta.

Resposta

yx - x^{2} - \dfrac{y^{2}}{2} = C

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