Equação Homogênea Resolva a equação homogênea:
Sugestão: faça a substituição
.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas pelo enunciado:
e a sugestão de usar a substituição
(ou seja, definir
). Note que a expressão
depende apenas da razão
, por isso a sugestão da substituição faz sentido. Também vale observar desde já que
(porque aparece
no lado direito).
Passo 2
Aplicando a substituição sugerida: defina
onde
é função de
(ou seja,
). Aqui a ideia é transformar a equação original em outra equação para
que seja mais simples de resolver. Também escrevo explicitamente a relação inversa:
Passo 3
Calcule
em função de
e de
. Usando a regra do produto (porque
):
Explicação curta: derivando
temos derivada de
vezes
mais
vezes derivada de
.
Passo 4
Substitua
e
(na forma
) na equação original:
a equação original é
a equação original é
Substituindo, o lado esquerdo vira
e no lado direito
, então
Simplifique o lado direito:
Portanto a igualdade fica
Passo 5
Cancele
dos dois lados (eles aparecem em ambos os lados), obtendo
Agora isole
:
Essa equação para
é separável e bem simples: basta integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integre ambos os lados:
O lado esquerdo dá
e o lado direito é o logaritmo natural (lembrando do valor absoluto por causa de
podendo ser negativo). Assim
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Volte à variável original
usando
. Substituindo
obtemos
Expandindo, uma forma conveniente da solução geral é
Lembre que essa solução vale para
e
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derive
.
Usando regra do produto, a derivada de é
, e a derivada de
é
. Então
Usando regra do produto, a derivada de
Já o lado direito da equação original com essa
é
que coincide com
. Logo a solução está correta.