Equação Homogênea Resolva a equação homogênea:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x} .
Sugestão: faça a substituição y=v x.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}.
Informações dadas pelo enunciado:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}
e a sugestão de usar a substituição \;y=vx\; (ou seja, definir \;v=\dfrac{y}{x}). Note que a expressão \dfrac{x+y}{x} depende apenas da razão \dfrac{y}{x}, por isso a sugestão da substituição faz sentido. Também vale observar desde já que x\neq0 (porque aparece \dfrac{1}{x} no lado direito).

Passo 2

Aplicando a substituição sugerida: defina
y = v x,
onde v é função de x (ou seja, v=v(x)). Aqui a ideia é transformar a equação original em outra equação para v(x) que seja mais simples de resolver. Também escrevo explicitamente a relação inversa:
v=\frac{y}{x}.

Passo 3

Calcule \dfrac{dy}{dx} em função de v e de dv/dx. Usando a regra do produto (porque y=v(x)\cdot x):
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Explicação curta: derivando y=v(x)\,x temos derivada de v(x) vezes x mais v(x) vezes derivada de x.

Passo 4

Substitua \dfrac{dy}{dx} e y (na forma v x) na equação original:
a equação original é
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x}.
Substituindo, o lado esquerdo vira v + x\frac{dv}{dx} e no lado direito y=vx, então
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + v x}{x}.
Simplifique o lado direito:
\frac{x + v x}{x} = 1 + v.
Portanto a igualdade fica
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + v.

Passo 5

Cancele v dos dois lados (eles aparecem em ambos os lados), obtendo
x\frac{dv}{dx} = 1.
Agora isole \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}.
Essa equação para v(x) é separável e bem simples: basta integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 6

Integre ambos os lados:
\int \frac{dv}{dx}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx.
O lado esquerdo dá v e o lado direito é o logaritmo natural (lembrando do valor absoluto por causa de x podendo ser negativo). Assim
v = \ln|x| + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Volte à variável original y usando y = v x. Substituindo v obtemos
y = x\left(\ln|x| + C\right).
Expandindo, uma forma conveniente da solução geral é
y = x\ln|x| + C x.
Lembre que essa solução vale para x\neq0 e C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derive y = x\ln|x| + Cx.
Usando regra do produto, a derivada de x\ln|x| é \ln|x| + 1, e a derivada de Cx é C. Então
\frac{dy}{dx} = \ln|x| + 1 + C.
Já o lado direito da equação original com essa y é
\frac{x+y}{x} = \frac{x + x\ln|x| + Cx}{x} = 1 + \ln|x| + C,
que coincide com \dfrac{dy}{dx}. Logo a solução está correta.

Resposta

y = x\ln|x| + Cx

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