Problema de Valor Inicial Linear Resolva a equação
\frac{d y}{d x}-2 y=4 e^{3 x}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}-2y=4e^{3x},\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
\text{Equação diferencial: }\frac{dy}{dx}-2y=4e^{3x}.çã
\text{Condição inicial: }y(0)=1.çã
Objetivo explícito: determinar y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão
y'+p(x)y=q(x).
A equação já está nessa forma com y'=\frac{dy}{dx}. Identificamos
p(x)=-2,\qquad q(x)=4e^{3x}.

Passo 3

Apresentar o método do fator integrante (explicação didática).
A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Pelo produto temos
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y'+\mu' y.
Queremos \mu y'+\mu' y=\mu(y'+p y), então precisamos que
\mu' = p\mu.
Isso define \mu como solução da equação diferencial simples \mu' = p\mu, cuja solução é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Esse \mu é o chamado fator integrante; multiplicando a equação original por \mu transformamos o lado esquerdo numa derivada exata \frac{d}{dx}(\mu y), facilitando a integração.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x).
Como p(x)=-2, temos
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-2x} e reconhecer a derivada exata.
Multiplicando ambos os lados por e^{-2x} obtemos
e^{-2x}y' -2e^{-2x}y = 4e^{3x}e^{-2x}.
No lado direito simplificamos a potência:
4e^{3x}e^{-2x}=4e^{x}.
No lado esquerdo, pela escolha de \mu,
e^{-2x}y' -2e^{-2x}y = \frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big).
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=4e^{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x.
Integrando,
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)\,dx = \int 4e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo simplifica para e^{-2x}y. A integral do lado direito é
\int 4e^{x}\,dx = 4e^{x}+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Assim
e^{-2x}y = 4e^{x}+C.

Passo 7

Isolar y.
Multiplicando pelos e^{2x} de ambos os lados,
y = e^{2x}\big(4e^{x}+C\big)=4e^{3x}+C e^{2x}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (antes de aplicar a condição inicial).

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C.
Substituindo x=0 em y=4e^{3x}+C e^{2x},
1 = 4e^{0} + C e^{0} = 4 + C.
Logo
C=1-4=-3.

Passo 9

Escrever a solução particular e checar rapidamente.
Substituindo C=-3 em y obtemos
y(x)=4e^{3x}-3e^{2x}.
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular y':
y' = 12e^{3x}-6e^{2x}.
Calcular y'-2y:
y'-2y = \big(12e^{3x}-6e^{2x}\big)-2\big(4e^{3x}-3e^{2x}\big) =12e^{3x}-6e^{2x}-8e^{3x}+6e^{2x}=4e^{3x},
que coincide com a parte direita da equação original; e y(0)=4-3=1. Tudo confere.

Resposta

y(x)=4e^{3x}-3e^{2x}

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