Problema de Valor Inicial Linear Resolva a equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial com condição inicial:
Informações dadas:
Objetivo explícito: determinar
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
A equação já está nessa forma com
. Identificamos
Passo 3
Apresentar o método do fator integrante (explicação didática).
A ideia é multiplicar a equação por uma função tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Pelo produto temos
A ideia é multiplicar a equação por uma função
Queremos
, então precisamos que
Isso define
como solução da equação diferencial simples
, cuja solução é
Esse
é o chamado fator integrante; multiplicando a equação original por
transformamos o lado esquerdo numa derivada exata
, facilitando a integração.
Passo 4
Calcular o fator integrante
.
Como , temos
Como
Passo 5
Multiplicar a equação original por
e reconhecer a derivada exata.
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Multiplicando ambos os lados por
No lado direito simplificamos a potência:
No lado esquerdo, pela escolha de
,
Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
.
Integrando,
Integrando,
A integral do lado esquerdo simplifica para
. A integral do lado direito é
onde
é constante arbitrária de integração. Assim
Passo 7
Isolar
.
Multiplicando pelos de ambos os lados,
Multiplicando pelos
Essa é a solução geral da equação diferencial (antes de aplicar a condição inicial).
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Substituindo em
,
Substituindo
Logo
Passo 9
Escrever a solução particular e checar rapidamente.
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular
:
Calcular
:
que coincide com a parte direita da equação original; e
. Tudo confere.