Resolva as equações diferenciais:
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dx + 2xy\,dy = 0.
Este é um caso clássico de equação homogênea, pois ambos os termos x^{2}-y^{2} e 2xy são funções homogêneas de grau 2. Vamos usar a substituição y=vx para transformar em uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro escrevemos em forma explícita de derivada:
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}.

Passo 3

Fazendo y = v x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Também y^{2} = v^{2}x^{2}. Substituindo no lado direito,
v + x\frac{dv}{dx} = -\,\frac{x^{2}-v^{2}x^{2}}{2x\,(v x)} = -\,\frac{1 - v^{2}}{2v}.

Passo 4

Isolamos \frac{dv}{dx} e separamos variáveis:
x\frac{dv}{dx} = -\,\frac{1 - v^{2}}{2v} - v = -\,\frac{1+v^{2}}{2v},
\frac{dv}{dx} = -\,\frac{1+v^{2}}{2v}\,\frac{1}{x}.
Então
2v\,(1+v^{2})^{-1}\,dv = -\,\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{2v}{1+v^{2}}\,dv = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(1+v^{2}\bigr) = -\ln|x| + C.

Passo 5

Voltando a v = y/x, a equação integrada dá
\ln\bigl(1 + \tfrac{y^{2}}{x^{2}}\bigr) + \ln|x| = C \;\Longrightarrow\; \ln\!\bigl[x\bigl(1+\tfrac{y^{2}}{x^{2}}\bigr)\bigr]=C \;\Longrightarrow\; x + \frac{y^{2}}{x} = K.
Multiplicando por x, obtemos a solução implícita
x^{2} + y^{2} = K\,x,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x^{2} + y^{2} = C\,x,
com C constante de integração.

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