Exercício 5 (1,0 ponto) - No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron orbita em torno do núcleo em uma trajetória circular de 5,1 \times 10^{-11} \mathrm{~m} de raio, com uma frequência de 6,8 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}. a) Mostra que o campo magnético no centro da órbita é dado por B=\frac{\mu_{0} i}{2 R}, onde \mu_{0} é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, i é a
corrente elétrica e R é o raio da orbita do elétron. b) Determine o valor do campo magnético produzido no centro da órbita. c) Determine o valor o momento de dipolo magnético referente a esta orbita.

Passo 1

O enunciado trata do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, onde o elétron descreve uma órbita circular de raio R=5,1\times10^{-11}\,\mathrm{m} com frequência f=6,8\times10^{15}\,\mathrm{Hz}. Pede-se:
a) mostrar que o campo magnético no centro da órbita vale
B=\frac{\mu_{0}\,i}{2R},
sendo \mu_{0} a permeabilidade magnética do vácuo e i a corrente equivalente;
b) calcular numericamente esse campo B;
c) determinar o momento de dipolo magnético associado à órbita.

Passo 2

Para obter B no centro de uma espira circular com corrente i, usamos a lei de Biot–Savart em valor escalar, já que em todo ponto do círculo a distância ao centro é R:
B = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i}{R^{2}}\;\oint_{\text{espira}}d\ell = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{i}{R^{2}}\;(2\pi R) = \frac{\mu_{0}\,i}{2R}.
Isso prova a expressão desejada.

Passo 3

A corrente i produzida pelo elétron em órbita equivale à carga por período. Como a carga do elétron em módulo é q=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C} e T=1/f, temos
i = \frac{q}{T} = q\,f = \bigl(1{,}6\times10^{-19}\bigr)\,\bigl(6,8\times10^{15}\bigr) = 1,088\times10^{-3}\,\mathrm{A}.

Passo 4

Substituindo em
B=\frac{\mu_{0}\,i}{2R},
com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}, i=1,088\times10^{-3}\,\mathrm{A} e R=5,1\times10^{-11}\,\mathrm{m}, obtemos
B = \frac{4\pi\times10^{-7}\times1,088\times10^{-3}}{2\times5,1\times10^{-11}} \approx 13{,}4\,\mathrm{T}.

Passo 5

O momento de dipolo magnético da espira é
\mu = i\,A = i\,\bigl(\pi R^{2}\bigr).
Logo
\mu = \bigl(1,088\times10^{-3}\bigr)\;\pi\,(5,1\times10^{-11})^{2} \approx 8,9\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^{2}}.

Resposta

a) \displaystyle B=\frac{\mu_{0}\,i}{2R}.
b) B\approx 13{,}4\,\mathrm{T}.
c) \mu\approx 8,9\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^{2}}.

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