Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica 100
. Em
, a posição e a velocidade do bloco são
e
. Determine
a. (2 pts) O tempo necessário para o sistema completar duas oscilações completas.
b. ( 2 pts) A amplitude
das oscilações.
c. (2 pts) A constante de fase
.
d. (2 pts) A velocidade do bloco no tempo
.
a. (2 pts) O tempo necessário para o sistema completar duas oscilações completas.
b. ( 2 pts) A amplitude
c. (2 pts) A constante de fase
d. (2 pts) A velocidade do bloco no tempo
Passo 1
O enunciado dá um oscilador harmônico simples com os seguintes dados:
- massa:
. - constante da mola:
. - condições iniciais em
: e .
O enunciado pede quatro coisas:
a. o tempo necessário para completar duas oscilações completas;
b. a amplitude das oscilações;
c. a constante de fase ;
d. a velocidade do bloco no tempo .
a. o tempo necessário para completar duas oscilações completas;
b. a amplitude
c. a constante de fase
d. a velocidade do bloco no tempo
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (vou explicar o que é cada símbolo):
- a pulsação (frequência angular) é
, onde é a constante da mola e a massa; - o período da oscilação é
, que é o tempo para uma oscilação completa; - a solução geral para a posição é
, onde é a amplitude e é a fase inicial; - a velocidade é a derivada de
, ou seja .
Agora calculo
e
:
O tempo para duas oscilações é
:
Passo 3
Agora vamos achar a amplitude
. Use as condições em
:
Uma forma prática e direta de obter
sem precisar da
primeiro é somar os quadrados (pois
):
Portanto
Substituindo os valores:
Arredondando sensatamente (valores iniciais têm 3 algarismos significativos), podemos escrever
.
Passo 4
Agora determinamos a fase
. Das equações iniciais:
Calculo numérico:
Observe os sinais:
e
. Isso coloca
no quarto quadrante (ângulo entre
e
). Para obter
escolhemos a função arco-tangente apropriada (ou
):
(Em graus isso seria aproximadamente
. Pode também ser escrito como
se preferir um ângulo entre
e
.)
Passo 5
Finalmente calculo a velocidade em
. A expressão é
Já temos
,
e
. Calculo
para
:
Agora avalio o seno:
Então
Arredondando de forma consistente,
.
Resposta
a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.