Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00 \mathrm{~kg} preso a uma mola de constante elástica 100 N / m. Em t=0,0 s, a posição e a velocidade do bloco são x(O)= 0,12 \mathrm{~m} e v(0)=3,40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine
a. (2 pts) O tempo necessário para o sistema completar duas oscilações completas.
b. ( 2 pts) A amplitude A das oscilações.
c. (2 pts) A constante de fase \delta.
d. (2 pts) A velocidade do bloco no tempo t=1,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador harmônico simples com os seguintes dados:
  • massa: m=2{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola: k=100\\ \mathrm{N/m}.
  • condições iniciais em t=0: x(0)=0{,}12\\ \mathrm{m} e v(0)=3{,}40\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede quatro coisas:
a. o tempo necessário para completar duas oscilações completas;
b. a amplitude A das oscilações;
c. a constante de fase \delta;
d. a velocidade do bloco no tempo t=1{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (vou explicar o que é cada símbolo):
  • a pulsação (frequência angular) é \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, onde k é a constante da mola e m a massa;
  • o período da oscilação é T=\dfrac{2\pi}{\omega}, que é o tempo para uma oscilação completa;
  • a solução geral para a posição é x(t)=A\cos(\omega t+\delta), onde A é a amplitude e \delta é a fase inicial;
  • a velocidade é a derivada de x(t), ou seja v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta).
Agora calculo \omega e T:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{100}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}071067812\\ \mathrm{rad/s}.
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5\sqrt{2}}\approx0{,}8885766\\ \mathrm{s}.
O tempo para duas oscilações é 2T:
2T\approx2\times0{,}8885766\\ \mathrm{s}\approx1{,}7771532\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora vamos achar a amplitude A. Use as condições em t=0:
x(0)=A\cos\delta,\qquad v(0)=-A\omega\sin\delta.
Uma forma prática e direta de obter A sem precisar da \delta primeiro é somar os quadrados (pois \cos^2\delta+\sin^2\delta=1):
x(0)^2+\left(\dfrac{v(0)}{\omega}\right)^2 = A^2\cos^2\delta + A^2\sin^2\delta = A^2.
Portanto
A=\sqrt{ x(0)^2+\left(\dfrac{v(0)}{\omega}\right)^2 }.
Substituindo os valores:
\dfrac{v(0)}{\omega}=\dfrac{3{,}40}{7{,}071067812}\approx0{,}48083265\\ \mathrm{m},
A=\sqrt{(0{,}12)^2 + (0{,}48083265)^2 } =\sqrt{0{,}0144 + 0{,}2312017}\approx\sqrt{0{,}2456017}\approx0{,}495585.
Arredondando sensatamente (valores iniciais têm 3 algarismos significativos), podemos escrever A\approx0{,}496\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora determinamos a fase \delta. Das equações iniciais:
\cos\delta=\dfrac{x(0)}{A},\qquad \sin\delta=-\dfrac{v(0)}{A\omega}.
Calculo numérico:
\cos\delta=\dfrac{0{,}12}{0{,}495585}\approx0{,}2421,
\sin\delta=-\dfrac{3{,}40}{0{,}495585\times7{,}071067812} =-\dfrac{3{,}40}{3{,}50433896}\approx-0{,}9700.
Observe os sinais: \cos\delta>0 e \sin\delta<0. Isso coloca \delta no quarto quadrante (ângulo entre -\pi e 0). Para obter \delta escolhemos a função arco-tangente apropriada (ou \mathrm{atan2}(\sin\delta,\cos\delta)):
\delta=\operatorname{atan2}\bigl(\sin\delta,\cos\delta\bigr)\approx\operatorname{atan2}(-0{,}9700,\,0{,}2421)\approx-1{,}32645\\ \mathrm{rad}.
(Em graus isso seria aproximadamente -76{,}0^\circ. Pode também ser escrito como \delta\approx4{,}9567\\ \mathrm{rad} se preferir um ângulo entre 0 e 2\pi.)

Passo 5

Finalmente calculo a velocidade em t=1{,}0\\ \mathrm{s}. A expressão é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta).
Já temos A, \omega e \delta. Calculo \omega t+\delta para t=1{,}0\\ \mathrm{s}:
\omega t+\delta=7{,}071067812\times1{,}0 +(-1{,}32645)\approx5{,}744618.
Agora avalio o seno:
\sin(5{,}744618)= -\sin(0{,}538567)\approx -0{,}512879.
Então
v(1{,}0)= -A\omega\sin(5{,}744618) = - (0{,}495585)(7{,}071067812)(-0{,}512879)
\quad\approx (3{,}50433896)\times0{,}512879\approx1{,}7970\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma consistente, v(1{,}0\\ \mathrm{s})\approx1{,}80\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a. t_{2\\ \text{osc}}=2T\approx1{,}777\\ \mathrm{s}
b. A\approx0{,}496\\ \mathrm{m}
c. \delta\approx-1{,}326\\ \mathrm{rad}
d. v(1{,}0\\ \mathrm{s})\approx1{,}80\\ \mathrm{m/s}

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