3(1,5 pt) - A equação de uma onda transversal se propagando numa corda muito longa é dada por y=8,0 sen(0,040 pi x+6,0 pi t), onde x e y estão expressos em centímetros e t em segundos. Determine
(d) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve uma onda transversal se movendo numa corda bem longa. A equação é:
y = 8,0 , sin(0,040 pi x + 6,0 pi t)
Aqui, x e y estão em centímetros e t é o tempo em segundos. O que a gente precisa encontrar é a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a posição de uma partícula na corda varia com o tempo e como isso relaciona com a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que y representa a posição vertical da partícula na corda em um dado ponto x e tempo t. Para achar a velocidade transversal, precisamos derivar y em relação ao tempo t, já que velocidade é a taxa de variação da posição.
Matematicamente, a velocidade v será:
v = partial ypartial t

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação da onda em relação a t. A equação original é:
y = 8,0 , sin(0,040 pi x + 6,0 pi t)
Aplicando a derivada:
v = partialpartial t [ 8,0 , sin(0,040 pi x + 6,0 pi t) ]
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada da seno é o cosseno multiplicado pela derivada do argumento.
v = 8,0 times 6,0 pi , cos(0,040 pi x + 6,0 pi t)
Simplificando:
v = 48,0 pi , cos(0,040 pi x + 6,0 pi t)

Passo 4

A velocidade transversal máxima ocorre quando o cosseno atinge o seu valor máximo, que é 1. Então, para encontrar a velocidade máxima, basta substituir o cosseno por 1:
vmáx = 48,0 pi times 1 = 48,0 pi , cm/s á

Resposta

A velocidade transversal máxima de uma partícula da corda é:
vmáx = 48,0 pi , cm/s á
Que aproximadamente dá:
vmáx approx 150,796 , cm/s á

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