- A equação de uma onda transversal se propagando numa corda muito longa é dada por
, onde x e y estão expressos em centímetros e t em segundos. Determine
(d) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.
(d) a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve uma onda transversal se movendo numa corda bem longa. A equação é:
Aqui, x e y estão em centímetros e t é o tempo em segundos. O que a gente precisa encontrar é a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a posição de uma partícula na corda varia com o tempo e como isso relaciona com a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que y representa a posição vertical da partícula na corda em um dado ponto x e tempo t. Para achar a velocidade transversal, precisamos derivar y em relação ao tempo t, já que velocidade é a taxa de variação da posição.
Matematicamente, a velocidade v será:
Passo 3
Agora, vamos derivar a equação da onda em relação a t. A equação original é:
Aplicando a derivada:
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada da seno é o cosseno multiplicado pela derivada do argumento.
Simplificando:
Passo 4
A velocidade transversal máxima ocorre quando o cosseno atinge o seu valor máximo, que é 1. Então, para encontrar a velocidade máxima, basta substituir o cosseno por 1:
Resposta
A velocidade transversal máxima de uma partícula da corda é:
Que aproximadamente dá: