A equação
onde
é constante, é conhecida como equação de Hermite.
Encontre duas soluções linearmente independentes da equação, para
;
onde
Encontre duas soluções linearmente independentes da equação, para
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Hermite
onde
é constante. Para resolver, vamos usar o método de séries de potências em torno de
e obter duas soluções linearmente independentes, uma de paridade par (série em potências pares) e outra de paridade ímpar (série em potências ímpares). Essas séries serão identificadas com funções hipergeométricas confluentes
.
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo na equação:
Reindexando o segundo somatório e juntando, obtemos
Passo 3
Para que o coeficiente de
seja zero para todo
, a relação de recorrência é
ou seja
Isso separa dois ramos independentes de solução:
- o ramo par, determinado por
, - o ramo ímpar, determinado por
.
Passo 4
Para
(série par) e escolhendo
, chega-se a
onde
é o símbolo de Pochhammer. Logo a série par é
Para
(série ímpar) e escolhendo
, obtém-se
de modo que a série ímpar é
Passo 5
As duas soluções
são linearmente independentes em
e constituem a base geral da solução.
Resposta
Duas soluções linearmente independentes são