A equação
y^prime prime-2 x y^prime+2 alpha y=0, -infty<x<infty,
onde alpha é constante, é conhecida como equação de Hermite.
Encontre duas soluções linearmente independentes da equação, para -infty<x<infty;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Hermite
y'' - 2x,y' + 2alpha,y = 0, -infty<x<infty,
onde alpha é constante. Para resolver, vamos usar o método de séries de potências em torno de x=0 e obter duas soluções linearmente independentes, uma de paridade par (série em potências pares) e outra de paridade ímpar (série em potências ímpares). Essas séries serão identificadas com funções hipergeométricas confluentes 1F1.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Substituindo na equação:
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n -2xsumn=1^inftyn,anx^n-1 +2alphasumn=0^inftyanx^n=0
Reindexando o segundo somatório e juntando, obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-2n,an+2alpha,anr]x^n=0

Passo 3

Para que o coeficiente de x^n seja zero para todo n, a relação de recorrência é
(n+2)(n+1),an+2=2,(n-alpha),an,
ou seja
an+2 =2,(n-alpha)(n+2)(n+1),an
Isso separa dois ramos independentes de solução:
  • o ramo par, determinado por a0,
  • o ramo ímpar, determinado por a1.

Passo 4

Para n=2k (série par) e escolhendo a0=1, chega-se a
a2k =(-tfracalpha2)kl(tfrac12r)k;1k!,2^k,
onde (cdot)k é o símbolo de Pochhammer. Logo a série par é
y1(x) =sumk=0^infty(-tfracalpha2)kl(tfrac12r)k, (x^2)^kk! =1F1!l(-tfracalpha2;tfrac12;,x^2r)
Para n=2k+1 (série ímpar) e escolhendo a1=1, obtém-se
a2k+1 =l(tfrac1-alpha2r)kl(tfrac32r)k;1k!,2^k,
de modo que a série ímpar é
y2(x) =xsumk=0^inftyl(tfrac1-alpha2r)kl(tfrac32r)k, (x^2)^kk! =x,1F1!l(tfrac1-alpha2;tfrac32;,x^2r)

Passo 5

As duas soluções
y1(x)=1F1!l(-tfracalpha2;tfrac12;,x^2r), y2(x)=x,1F1!l(tfrac1-alpha2;tfrac32;,x^2r)
são linearmente independentes em (-infty,infty) e constituem a base geral da solução.

Resposta

Duas soluções linearmente independentes são
y1(x)=1F1!l(-tfracalpha2;tfrac12;,x^2r), y2(x)=x,1F1!l(tfrac1-alpha2;tfrac32;,x^2r)

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