Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para determinar a derivada das funções abaixo:
g(x)=integral0^sec x e^t d t.

Passo 1

Beleza, a gente tem a função g(x) = integral0^sec x e^t , dt . A tarefa aqui é usar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para encontrar a derivada dessa função. Basicamente, vamos precisar entender como derivar uma integral onde o limite superior depende de x .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1). Ele afirma que se você tem uma função definida como uma integral com limite superior variável, tipo G(x) = integrala^x f(t) , dt , então a derivada dessa função G'(x) é simplesmente f(x) .

Passo 3

Mas no nosso caso, o limite superior não é só x , e sim sec x . Quando o limite superior é uma função de x , ou seja, h(x) , a gente usa a Regra da Cadeia. Assim, se G(x) = integrala^h(x) f(t) , dt , então a derivada G'(x) é f(h(x)) cdot h'(x) .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso exercício:
  • Função dentro da integral: f(t) = e^t
  • Limite superior: h(x) = sec x
Então, f(h(x)) = e^sec x .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada de h(x) , ou seja, h'(x) . Sabemos que h(x) = sec x . A derivada de sec x é sec x tan x . Então, h'(x) = sec x tan x .

Passo 6

Finalmente, multiplicamos f(h(x)) pela derivada h'(x) para encontrar g'(x) :
g'(x) = e^sec x cdot sec x tan x

Resposta

A derivada da função é g'(x) = e^sec x cdot sec x tan x .

Exercícios relacionados