Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para determinar a derivada das funções abaixo:
g(x)=integralraizx^x^3 raizt sen t d t.

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integralraizx^,x^3raizt,sent,dt
e pede g'(x).
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) com limites que dependem de x, mais a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos a função integrando e os limites variáveis:
f(t)=raizt,sent, a(x)=raizx, b(x)=x^3

Passo 3

Derivada do termo com o limite superior b(x)=x^3:
fl(b(x)r),b'(x) =raizx^3,sen(x^3)cdot 3x^2 =3x^2cdot x^3/2,sen(x^3) =3x^7/2,sen(x^3)

Passo 4

Derivada do termo com o limite inferior a(x)=raizx=x^1/2. Como é limite inferior, vem com sinal negativo:
-,fl(a(x)r),a'(x) =-l(raizraizx,sen(raizx)r)cdotddxl(x^1/2r) =-,x^1/4,sen(raizx)cdot12raizx =-12,x^-1/4,sen(raizx)

Passo 5

Somando as duas contribuições, obtemos
g'(x) =3x^7/2,sen(x^3) -12,x^-1/4,sen(raizx)

Resposta

g'(x)=3x^7/2,sen(x^3) -12,x^-1/4,sen(raizx)

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