A equação
y^prime prime-2 x y^prime+2 alpha y=0, -infty<x<infty,
onde alpha é constante, é conhecida como equação de Hermite.
Se alpha=n é um inteiro não negativo, mostre que existe uma solução polinomial de grau n.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Hermite
y'' - 2x,y' + 2alpha,y = 0, -infty<x<infty,
e pede para mostrar que, se alpha=n é inteiro não negativo, existe uma solução polinomial de grau n.
Conteúdo: método de séries de potências em torno de x=0.

Passo 2

Suponha uma solução em série de potências
y(x) = sumk=0^infty ak,x^k
Então
y'(x)=sumk=1^infty k,ak,x^k-1 e y''(x)=sumk=2^infty k(k-1),ak,x^k-2

Passo 3

Substituindo em
;y'' - 2x,y' + 2alpha,y=0:,
alinhamos as potências de x^k. Primeiro reindexamos cada soma para ter x^k:
sumk=0^infty(k+2)(k+1),ak+2,x^k ;- ;2sumk=0^inftyk,ak,x^k ;+ ;2alphasumk=0^inftyak,x^k ;=;0
Como a soma das séries nulas implica coeficientes nulos, para todo k>=0 vale
(k+2)(k+1),ak+2;- ;2k,ak;+ ;2alpha,ak ;=;0

Passo 4

Rearranjando a recorrência, obtemos
ak+2 =2(k-alpha)(k+2)(k+1),ak, k>=0
Isso liga cada coeficiente ak+2 a ak, gerando duas séries independentes (índices pares e ímpares).

Passo 5

Se alpha=nin0,1,2,dots, no passo k=n o numerador 2(n-alpha)=0 anula
an+2=0
Pela recorrência, a partir de an+2=0 todos os coeficientes de ordem maior ficam zero, fazendo a série truncar num polinômio de grau n.

Resposta

Para alpha=n não negativo, a série de potências termina em x^n, produzindo uma solução polinomial de grau n (os polinômios de Hermite Hn(x)).

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