A equação
onde
é constante, é conhecida como equação de Hermite.
Se
é um inteiro não negativo, mostre que existe uma solução polinomial de grau
.
onde
Se
Passo 1
O enunciado dá a equação de Hermite
e pede para mostrar que, se
é inteiro não negativo, existe uma solução polinomial de grau
.
Conteúdo: método de séries de potências em torno de .
Conteúdo: método de séries de potências em torno de
Passo 2
Suponha uma solução em série de potências
Então
Passo 3
Substituindo em
:,
alinhamos as potências de . Primeiro reindexamos cada soma para ter
:
alinhamos as potências de
Como a soma das séries nulas implica coeficientes nulos, para todo
vale
Passo 4
Rearranjando a recorrência, obtemos
Isso liga cada coeficiente
a
, gerando duas séries independentes (índices pares e ímpares).
Passo 5
Se
, no passo
o numerador
anula
Pela recorrência, a partir de
todos os coeficientes de ordem maior ficam zero, fazendo a série truncar num polinômio de grau
.
Resposta
Para
não negativo, a série de potências termina em
, produzindo uma solução polinomial de grau
(os polinômios de Hermite
).