Num tanque existe 1000 l de uma salmora com 30 kg de sal. No instante t=0, uma válvula A é aberta, entrando 6 l / min de uma solução de salmoura a uma concentração de 0,4 Kg / l. Em t=10 min, a válvula A é fechada e a uma segunda válvula B é aberta, entrando 6 l / min de salmoura a uma concentração de 0,2 Kg / l. No tanque existe uma válvula de saída C, que esvazia o tanque com vazão de 6 l / min, mantém o constante o volume do tanque. Suponha que a solução seja mantida homogênea por meio de um misturador.
Determine a quantidade de sal no tanque em um instantes t>0.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume constante de 1000 l e quantidade inicial de sal y(0)=30 kg. Em t=0 abre a válvula A, entra solução a 6 l/min com concentração 0,4 kg/l e sai também 6 l/min (mistura homogênea). Em t=10 min fecha A e abre a válvula B, que entra solução a 6 l/min com concentração 0,2 kg/l, mantendo a mesma vazão de saída. O conteúdo envolve modelo de mistura com vazões constantes e concentração variável, gerando uma EDO linear em dois intervalos de tempo.

Passo 2

Para 0<= t<=10 min, seja y(t) a quantidade de sal (kg). A vazão de entrada de sal é
6;l/mintimes0,4;kg/l=2,4;kg/min,
e a vazão de saída de sal é a concentração na mistura tfracy(t)1000 kg/l vezes 6 l/min, ou seja
saída = 6cdoty1000=0,006,y;kg/min í
Logo a EDO é
dydt=2,4-0,006,y

Passo 3

Resolvendo
dydt+0,006,y=2,4
o ponto de equilíbrio é yp=tfrac2,40,006=400. A solução geral é
y(t)=400 + C,e^-0,006,t
Como y(0)=30, tem-se 30=400+C, logo C=-370. Portanto, para 0<= t<=10,
y(t)=400 -370,e^-0,006,t

Passo 4

Em t=10 min a quantidade é
y(10)=400 -370,e^-0,006cdot10 =400 -370,e^-0,06

Passo 5

Para t>10 min, a vazão de entrada de sal passa a ser
6;l/mintimes0,2;kg/l=1,2;kg/min,
e a saída permanece 0,006,y. A EDO no segundo intervalo é
dydt=1,2-0,006,y,
ou seja
dydt+0,006,y=1,2

Passo 6

O equilíbrio agora é yp=tfrac1,20,006=200. A solução geral para t>10 (medido desde t=10) é
y(t)=200 + D,e^-0,006,(t-10)
Usando y(10)=400 -370,e^-0,06, obtemos
D = l(400 -370,e^-0,06r)-200 =200 -370,e^-0,06
Logo, para t>10,
y(t)=200 +l(200 -370,e^-0,06r),e^-0,006,(t-10)

Resposta

Para 0<= t<=10:
y(t)=400 -370,e^-0,006,t
Para t>10:
y(t)=200 +l(200 -370,e^-0,06r),e^-0,006,(t-10)

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