Num tanque existe
de uma salmora com 30 kg de sal. No instante
, uma válvula
é aberta, entrando
de uma solução de salmoura a uma concentração de
. Em
, a válvula
é fechada e a uma segunda válvula
é aberta, entrando
de salmoura a uma concentração de
. No tanque existe uma válvula de saída
, que esvazia o tanque com vazão de
, mantém o constante o volume do tanque. Suponha que a solução seja mantida homogênea por meio de um misturador.
Determine a quantidade de sal no tanque em um instantes
.
Determine a quantidade de sal no tanque em um instantes
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume constante de
l e quantidade inicial de sal
kg. Em
abre a válvula A, entra solução a
l/min com concentração
kg/l e sai também
l/min (mistura homogênea). Em
min fecha A e abre a válvula B, que entra solução a
l/min com concentração
kg/l, mantendo a mesma vazão de saída. O conteúdo envolve modelo de mistura com vazões constantes e concentração variável, gerando uma EDO linear em dois intervalos de tempo.
Passo 2
Para
min, seja
a quantidade de sal (kg). A vazão de entrada de sal é
e a vazão de saída de sal é a concentração na mistura
kg/l vezes
l/min, ou seja
Logo a EDO é
Passo 3
Resolvendo
o ponto de equilíbrio é
. A solução geral é
Como
, tem-se
, logo
. Portanto, para
,
Passo 4
Em
min a quantidade é
Passo 5
Para
min, a vazão de entrada de sal passa a ser
e a saída permanece
. A EDO no segundo intervalo é
ou seja
Passo 6
O equilíbrio agora é
. A solução geral para
(medido desde
) é
Usando
, obtemos
Logo, para
,
Resposta
Para
:
Para
: