Num tanque existe 1000 l de uma salmora com 30 kg de sal. No instante t=0, uma válvula A é aberta, entrando 6 l / min de uma solução de salmoura a uma concentração de 0,4 Kg / l. Em t=10 min, a válvula A é fechada e a uma segunda válvula B é aberta, entrando 6 l / min de salmoura a uma concentração de 0,2 Kg / l. No tanque existe uma válvula de saída C, que esvazia o tanque com vazão de 6 l / min, mantém o constante o volume do tanque. Suponha que a solução seja mantida homogênea por meio de um misturador.
Encontre a concentração de sal quando t tende ao infinito.

Passo 1

O tanque mantém volume constante de 1000 L, com massa inicial de sal S(0)=30 kg. A vazão de entrada e saída é Q=6 L/min. De t=0 até t=10 min a concentração de entrada é cin1=0,4 kg/L; para t>=10 min a concentração passa a ser cin2=0,2 kg/L. Como a mistura é instantânea, definimos S(t) como a massa de sal no tanque e queremos
c(t)=S(t)1000
e, em particular, limttoinftyc(t). Para isso, montamos e resolvemos equações diferenciais lineares em cada fase.

Passo 2

Para 0<= t<=10 temos
dSdt=Q,cin1-QSV =6cdot0,4-6S1000 =2,4-0,006,S
A solução geral é soma da particular Sp=2,40,006=400 kg com o termo homogêneo:
S(t)=400+l(S(0)-400r)e^-0,006t =400-370,e^-0,006t
Logo,
S(10)=400-370,e^-0,06

Passo 3

Para t>=10 a equação passa a ser
dSdt=6cdot0,2-0,006,S =1,2-0,006,S
A parte particular é Sp=1,20,006=200 kg. Com condição inicial S(10), obtemos
S(t)=200+l(S(10)-200r)e^-0,006,(t-10)
Quando ttoinfty, o termo exponencial tende a zero e
S(infty)=200 kg

Passo 4

A concentração limite é
c(infty)=S(infty)1000=2001000=0,2 kg/L

Resposta

A concentração de sal quando ttoinfty é 0,2 kg/L.

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