Num tanque existe
de uma salmora com 30 kg de sal. No instante
, uma válvula
é aberta, entrando
de uma solução de salmoura a uma concentração de
. Em
, a válvula
é fechada e a uma segunda válvula
é aberta, entrando
de salmoura a uma concentração de
. No tanque existe uma válvula de saída
, que esvazia o tanque com vazão de
, mantém o constante o volume do tanque. Suponha que a solução seja mantida homogênea por meio de um misturador.
Encontre a concentração de sal quando
tende ao infinito.
Encontre a concentração de sal quando
Passo 1
O tanque mantém volume constante de
L, com massa inicial de sal
kg. A vazão de entrada e saída é
L/min. De
até
min a concentração de entrada é
kg/L; para
min a concentração passa a ser
kg/L. Como a mistura é instantânea, definimos
como a massa de sal no tanque e queremos
e, em particular,
. Para isso, montamos e resolvemos equações diferenciais lineares em cada fase.
Passo 2
Para
temos
A solução geral é soma da particular
kg com o termo homogêneo:
Logo,
Passo 3
Para
a equação passa a ser
A parte particular é
kg. Com condição inicial
, obtemos
Quando
, o termo exponencial tende a zero e
Passo 4
A concentração limite é
Resposta
A concentração de sal quando
é
kg/L.