(UEL-PR) Uma bomba-d’água aspira e expira água a cada 3 segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume y de água na bomba, em função do tempo t.
a) y=2+2 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3} t\right)
b) y=2+2 \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi}{3} t\right)
c) y=3+\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3} t\right)
d) y=3+\operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi}{3} t\right)
e) y=-3+2 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3} t\right)

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha uma expressão algébrica para o volume de água y na bomba em função do tempo t. As informações relevantes do enunciado são:
\text{Período } T = 3\\ \text{segundos},í
\text{valor mínimo } y_{\min}=2\\ \text{litros},í
\text{valor máximo } y_{\max}=4\\ \text{litros}.á
A pergunta é: qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) representa corretamente y(t).

Passo 2

Vamos achar a amplitude e a reta média (valor médio) da oscilação. Para uma função senoidal que varia entre y_{\min} e y_{\max}:
\text{amplitude } A = \frac{y_{\max}-y_{\min}}{2},
\text{reta média } M = \frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}.é
Substituindo y_{\min}=2 e y_{\max}=4:
A = \frac{4-2}{2} = 1,
M = \frac{4+2}{2} = 3.
Interpretação: a função tem amplitude 1 (varia +1 e -1 em relação à média) e oscila em torno de 3 litros.

Passo 3

A forma geral de uma senóide com deslocamento vertical é
y(t) = M + A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi),
onde:
  • M é a reta média (valor médio),
  • A é a amplitude (positivo),
  • \omega é a frequência angular (em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (deslocamento horizontal).
    Aqui já sabemos M=3 e A=1, então
y(t)=3+\operatorname{sen}(\omega t+\varphi).

Passo 4

Relacionamento entre período T e frequência angular \omega:
\omega = \frac{2\pi}{T}.
Como T=3,
\omega = \frac{2\pi}{3}.
Portanto a função tem a forma
y(t)=3+\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{3}t+\varphi\right).

Passo 5

O termo \varphi é a fase inicial. O enunciado não dá valor inicial y(0), então uma forma sem deslocamento horizontal ( \varphi=0) é aceitável quando comparamos com as alternativas (todas as alternativas dadas não têm \varphi). Com \varphi=0 obtemos
y(t)=3+\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{3}t\right).
Verificação rápida dos extremos com essa função:
  • Quando \operatorname{sen}(\cdot)=1 temos y=3+1=4 (máximo).
  • Quando \operatorname{sen}(\cdot)=-1 temos y=3-1=2 (mínimo).
    Também o período de \operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{3}t\right) é T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{2\pi/3}=3, que coincide com o enunciado.

Passo 6

Checagem das alternativas (por que as outras estão erradas):
  • (a) y=2+2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}t\right): aqui a reta média é 2 e a amplitude é 2, logo y_{\min}=0 e y_{\max}=4 — não confere com y_{\min}=2.
  • (b) y=2+2\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{3}t\right): amplitude e média erradas (mesma razão da (a) para os extremos).
  • (c) y=3+\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}t\right): amplitude e média estão OK, mas \omega=\frac{\pi}{3} dá período T=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6 segundos, não 3 segundos.
  • (d) y=3+\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{3}t\right): média 3, amplitude 1, e \omega=\dfrac{2\pi}{3} dá período 3 segundos — tudo confere.
  • (e) y=-3+2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}t\right): média -3 e amplitude 2, extremos incorretos.

Resposta

d) y=3+\operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi}{3} t\right)

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