A equação
está satisfeita no ponto
. Verifique que, em uma vizinhança de
, a variável
é uma função derivável de
e
, isto é, que existe uma função derivável
, definida na tal vizinhança, tal que
. Para finalizar, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função
satisfeita em
. Queremos mostrar, usando o Teorema da Função Implícita, que existe uma função derivável
definida numa vizinhança de
tal que
e então calcular
e
.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, verificamos
No ponto
temos
e
, logo
Como essa derivada parcial é não nula, o teorema garante a existência de
classe
em torno de
tal que
.
Passo 3
Usando diferenciação implícita, temos
Calculemos as derivadas de
:
No ponto
obtemos
Portanto