Find the directional derivative of f at the given point in the direction indicated by the angle \theta.
f(x, y)=y e^{-x}, \quad(0,4), \quad \theta=2 \pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=y e^{-x} no ponto (0,4) na direção que forma ângulo \theta=2\pi/3 com o eixo x. Vamos usar a definição
D_{\mathbf u}f(p)=\nabla f(p)\cdot \mathbf u,
onde \mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta) é o vetor unitário na direção indicada.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=y e^{-x}, temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\cdot(-e^{-x}) = -y e^{-x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = e^{-x}.
Portanto
\nabla f(x,y)=\bigl(-y e^{-x},\,e^{-x}\bigr).

Passo 3

Avaliamo-lo em (0,4):
\nabla f(0,4) =\bigl(-4 e^{0},\,e^{0}\bigr) =(-4,\,1).

Passo 4

O vetor unitário na direção \theta=2\pi/3 é
\mathbf u =(\cos(2\pi/3),\,\sin(2\pi/3)) =\bigl(-\tfrac12,\,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar:
D_{\mathbf u}f(0,4) =\nabla f(0,4)\cdot \mathbf u =(-4)\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) +1\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =2+\tfrac{\sqrt3}{2}.

Resposta

D_{\mathbf u}f(0,4)=2+\tfrac{\sqrt3}{2}.

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