Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear definido por T(x, y)=(5 x-y, 2 x+2 y).
a) Determinar uma base do \mathbb{R}^{2} em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.
b) Qual a matriz de T nesta base?

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(5x-y,\,2x+2y)
e pede:
– (a) encontrar uma base de \mathbb{R}^2 em que a matriz de T seja diagonal;
– (b) determinar essa matriz diagonal.
Para isso, vamos usar o método de diagonalização: achar autovalores e auto­vetores de T.

Passo 2

Em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 5 & -1\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 5-\lambda & -1\\\\ 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (5-\lambda)(2-\lambda) - (-1)\cdot2 = \lambda^2 -7\lambda +12.

Passo 3

Resolvendo \lambda^2 -7\lambda +12=0 obtemos
\lambda^2 -7\lambda +12 = (\lambda-3)(\lambda-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=3,\;\lambda_2=4.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda, resolvemos (A-\lambda I)v=0:
– Se \lambda=3,
A - 3I = \begin{pmatrix}2 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix},
a equação 2x - y=0 y=2x. Um auto­vetor é
v_1 = (1,2).
– Se \lambda=4,
A - 4I = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & -2\end{pmatrix},
a equação x - y=0 y=x. Um auto­vetor é
v_2 = (1,1).

Passo 5

Os vetores v_1=(1,2) e v_2=(1,1) são linearmente independentes e formam a base
\mathcal{B} = \{\,v_1,v_2\}
que diagonaliza T. Na base \mathcal{B}, a matriz de T é diagonal, com as entradas na diagonal iguais aos autovalores correspondentes.

Resposta

a) Uma base que diagonaliza T é
\mathcal{B} = \bigl\{(1,2),\,(1,1)\bigr\}.
b) Na base \mathcal{B}, a matriz de T é
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

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