(2,0 poutos) Considere o campo vetorial F(x, y, z)=\left(y z+x^{2}, x z+3 y^{2}, x y\right). Calcule a integral de F ao longo da curva r(t)=\left(e^{t}, \cos t \operatorname{sen} t, 1\right), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}F\cdot d\mathbf r
onde F(x,y,z)=(yz+x^2,\;xz+3y^2,\;xy) e a curva C é dada por
\mathbf r(t) = \bigl(e^t,\;\cos t\;\operatorname{sen} t,\;1\bigr),\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, se F for campo conservativo (isto é, \curl F=0 num domínio simplesmente conexo), podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que reduz a integral à diferença de valores de um potencial escalar.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo calculando \curl F. Escrevendo
P=yz+x^2,\quad Q=xz+3y^2,\quad R=xy,
temos
\frac{\partial P}{\partial y}=z,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=z,
\frac{\partial P}{\partial z}=y,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=y,
\frac{\partial Q}{\partial z}=x,\quad \frac{\partial R}{\partial y}=x.
Logo
\curl F=\bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr) =(0,0,0).
Assim, F é conservativo em \mathbb R^3.

Passo 3

Procuramos um potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=F.
Integramos
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=yz+x^2
em relação a x:
\varphi(x,y,z)=xyz+\frac{x^3}{3}+h(y,z).
Diferenciando em y e comparando a \,Q=xz+3y^2, obtemos
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=xz+\frac{\partial h}{\partial y}=xz+3y^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=3y^2
\Rightarrow\quad h(y,z)=y^3+g(z).
Por fim, a condição em z, \partial\varphi/\partial z=xy=R, implica g'(z)=0.
Podemos, sem perda, escolher g(z)=0. Assim
\varphi(x,y,z)=xyz+\frac{x^3}{3}+y^3.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
\int_{C}F\cdot d\mathbf r =\varphi\bigl(\mathbf r(2\pi)\bigr)-\varphi\bigl(\mathbf r(0)\bigr).
Calculamos
\mathbf r(0)=(e^0,\,\cos0\,\sen0,\,1)=(1,0,1)
e
\mathbf r(2\pi)=(e^{2\pi},\,\cos2\pi\,\sen2\pi,\,1)=(e^{2\pi},0,1).

Passo 5

Avaliam \varphi nos pontos:
\varphi\bigl(e^{2\pi},0,1\bigr) =e^{2\pi}\cdot0\cdot1+\frac{(e^{2\pi})^3}{3}+0 =\frac{e^{6\pi}}{3},
\varphi(1,0,1) =1\cdot0\cdot1+\frac{1^3}{3}+0 =\frac{1}{3}.
Logo
\int_{C}F\cdot d\mathbf r =\frac{e^{6\pi}}{3}-\frac{1}{3} =\frac{e^{6\pi}-1}{3}.

Resposta

\frac{e^{6\pi}-1}{3}.

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