(2,0 poutos) Considere o campo vetorial
. Calcule a integral de
ao longo da curva
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e a curva
é dada por
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, se
for campo conservativo (isto é,
num domínio simplesmente conexo), podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que reduz a integral à diferença de valores de um potencial escalar.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo calculando
. Escrevendo
temos
Logo
Assim,
é conservativo em
.
Passo 3
Procuramos um potencial
tal que
.
Integramos
Integramos
em relação a
:
Diferenciando em
e comparando a
, obtemos
Por fim, a condição em
,
, implica
.
Podemos, sem perda, escolher . Assim
Podemos, sem perda, escolher
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
Calculamos
e
.
e
.
Passo 5
Avaliam
nos pontos:
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