Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirm ativas abaixo:
I - Nem todo subconjunto LI de
com 8 vetores é uma base de
.
II - Todo subconjunto de
com menos do que 8 vetores é LI.
III - Existe um subconjunto LI de
com 8 vetores que não gera
.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - Nem todo subconjunto LI de
II - Todo subconjunto de
III - Existe um subconjunto LI de
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
de dimensão
e pede para avaliar três afirmações sobre linearidade e geração. Vamos usar o fato fundamental de que, num espaço de dimensão
:
- Qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes é base (logo gera o espaço). - Qualquer conjunto de
vetores que gera o espaço é base (logo é LI). - Conjuntos com mais de
vetores são sempre LI e conjuntos com menos de vetores podem ser LI ou LD, dependendo dos vetores.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Nem todo subconjunto LI de
com 8 vetores é uma base de
.”
Num espaço de dimensão 8, qualquer conjunto de 8 vetores LI já é uma base (pois número de vetores = dimensão ⇒ gera o espaço).
Portanto I é falsa.
Num espaço de dimensão 8, qualquer conjunto de 8 vetores LI já é uma base (pois número de vetores = dimensão ⇒ gera o espaço).
Portanto I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto de
com menos do que 8 vetores é LI.”
Nada impede que um conjunto com, por exemplo, 7 vetores seja linearmente dependente (basta repetir um vetor ou escolher vetores que se combinem).
Logo II é falsa.
Nada impede que um conjunto com, por exemplo, 7 vetores seja linearmente dependente (basta repetir um vetor ou escolher vetores que se combinem).
Logo II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Existe um subconjunto LI de
com 8 vetores que não gera
.”
Pelo mesmo motivo da afirmação I, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão gera
.
Logo III é falsa.
Pelo mesmo motivo da afirmação I, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão
Logo III é falsa.
Passo 5
Como I, II e III são todas falsas, a alternativa correta é a que diz “Todas são falsas”.
Resposta
(D) Todas são falsas.