Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirm ativas abaixo:
I - Nem todo subconjunto LI de V com 8 vetores é uma base de V.
II - Todo subconjunto de V com menos do que 8 vetores é LI.
III - Existe um subconjunto LI de V com 8 vetores que não gera V.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão \dim(V)=8 e pede para avaliar três afirmações sobre linearidade e geração. Vamos usar o fato fundamental de que, num espaço de dimensão n:
  1. Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é base (logo gera o espaço).
  2. Qualquer conjunto de n vetores que gera o espaço é base (logo é LI).
  3. Conjuntos com mais de n vetores são sempre LI e conjuntos com menos de n vetores podem ser LI ou LD, dependendo dos vetores.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Nem todo subconjunto LI de V com 8 vetores é uma base de V.”
Num espaço de dimensão 8, qualquer conjunto de 8 vetores LI já é uma base (pois número de vetores = dimensão ⇒ gera o espaço).
Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto de V com menos do que 8 vetores é LI.”
Nada impede que um conjunto com, por exemplo, 7 vetores seja linearmente dependente (basta repetir um vetor ou escolher vetores que se combinem).
Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Existe um subconjunto LI de V com 8 vetores que não gera V.”
Pelo mesmo motivo da afirmação I, qualquer conjunto LI de tamanho igual à dimensão 8 gera V.
Logo III é falsa.

Passo 5

Como I, II e III são todas falsas, a alternativa correta é a que diz “Todas são falsas”.

Resposta

(D) Todas são falsas.

Exercícios relacionados