Questão 3. (1 ponto) Determine as equações na forma vetorial e geral do plano que contém A=(-1,3,2), B=(4,4,1) e C=(-2,-1,5). (1 ponto) Estabeleça a equação vetorial da reta que passa por A e é perpendicular ao plano em análise. (1 ponto) Encontre um ponto sobre a reta que dista 5 do plano.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
A = (-1,3,2),\quad B = (4,4,1),\quad C = (-2,-1,5)
e pede:
– a equação vetorial e a forma geral do plano que contém A,B,C;
– a equação vetorial da reta que passa por A e é perpendicular a esse plano;
– um ponto nessa reta cuja distância ao plano seja 5.
Vamos usar vetores posição, produto vetorial para obter a normal do plano, e a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Calculamos os vetores de direção no plano: \overrightarrow{AB} = B - A = (4-(-1),\,4-3,\,1-2) = (5,1,-1) \overrightarrow{AC} = C - A = (-2-(-1),\,-1-3,\,5-2) = (-1,-4,3)
A normal \mathbf{n} do plano é o produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[6pt] 5 & 1 & -1\\[4pt] -1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = (-1,-14,-19).
Podemos escolher \mathbf{n}=(1,14,19), pois só muda o sinal.]

Passo 3

A equação vetorial do plano é
\mathbf{r} = (-1,3,2) + s\,(5,1,-1) + t\,(-1,-4,3),
onde s,t\in\mathbb{R}.
Para a forma geral, usamos \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-A)=0, o que dá
1\,(x+1)+14\,(y-3)+19\,(z-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x + 14y + 19z -79 = 0.

Passo 4

A reta que parte de A e é perpendicular ao plano tem direção \mathbf{n}=(1,14,19). Logo
\mathbf{r} = (-1,3,2) + k\,(1,14,19),
com k\in\mathbb{R}.

Passo 5

Seja P(k)=(-1+k,\;3+14k,\;2+19k). A distância de P(k) ao plano x+14y+19z-79=0 é
\frac{\bigl|(-1+k)+14(3+14k)+19(2+19k)-79\bigr|}{\sqrt{1^2+14^2+19^2}} =\frac{|558k|}{\sqrt{558}} =|k|\sqrt{558}.
Queremos |k|\sqrt{558}=5, então |k| = \tfrac{5}{\sqrt{558}} = \tfrac{5}{3\sqrt{62}}.
Escolhendo k = \tfrac{5}{3\sqrt{62}}, um ponto da reta a 5 do plano é
\Bigl(-1+\tfrac{5}{3\sqrt{62}},\; 3+\tfrac{70}{3\sqrt{62}},\; 2+\tfrac{95}{3\sqrt{62}}\Bigr).

Resposta

Equação vetorial do plano:
\mathbf{r} = (-1,3,2) + s\,(5,1,-1) + t\,(-1,-4,3).
Forma geral do plano:
x + 14y + 19z -79 = 0.
Equação vetorial da reta perpendicular em A:
\mathbf{r} = (-1,3,2) + k\,(1,14,19).
Um ponto nessa reta a distância 5 do plano:
\bigl(-1+\tfrac{5}{3\sqrt{62}},\;3+\tfrac{70}{3\sqrt{62}},\;2+\tfrac{95}{3\sqrt{62}}\bigr).

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