Questão 3. (1 ponto) Determine as equações na forma vetorial e geral do plano que contém A=(-1,3,2), B=(4,4,1) e C=(-2,-1,5). (1 ponto) Estabeleça a equação vetorial da reta que passa por A e é perpendicular ao plano em análise. (1 ponto) Encontre um ponto sobre a reta que dista 5 do plano.
Passo 1
O enunciado dá três pontos
A = (-1,3,2),\quad B = (4,4,1),\quad C = (-2,-1,5)
e pede:
– a equação vetorial e a forma geral do plano que contém A,B,C;
– a equação vetorial da reta que passa por A e é perpendicular a esse plano;
– um ponto nessa reta cuja distância ao plano seja 5.
Vamos usar vetores posição, produto vetorial para obter a normal do plano, e a fórmula da distância ponto–plano.
Passo 2
Calculamos os vetores de direção no plano: \overrightarrow{AB} = B - A = (4-(-1),\,4-3,\,1-2) = (5,1,-1) \overrightarrow{AC} = C - A = (-2-(-1),\,-1-3,\,5-2) = (-1,-4,3)
A normal \mathbf{n} do plano é o produto vetorial
Queremos |k|\sqrt{558}=5, então |k| = \tfrac{5}{\sqrt{558}} = \tfrac{5}{3\sqrt{62}}.
Escolhendo k = \tfrac{5}{3\sqrt{62}}, um ponto da reta a 5 do plano é