Usando o Teorema de Green para encontrar a área da região encerrada pela elipse dada pela equação:
onde
e
são constantes. Utilize a fórmula para a área
de uma região
limitada por uma curva fechada simples
percorrida no sentido anti-horário:
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Queremos achar a área da região E fechada pela elipse
usando o Teorema de Green. Vamos usar a fórmula de área em termos de integral de linha
, onde C é o contorno orientado no sentido anti-horário.
Passo 2
Teorema de Green e fórmula de área: O Teorema de Green diz que para uma região E com fronteira C orientada positivamente,
. Escolhendo
e
obtemos diretamente a fórmula
.
Passo 3
Parametrização da elipse: Vamos parametrizar C por:
Passo 4
Passo 5
Cálculo de
e
: Diferenciando em relação a
:
Passo 6
Passo 7
Substituição na integral de linha: No integrando temos
Passo 8
Passo 9
Cálculo da área: Substituindo em
dá