Usando o Teorema de Green para encontrar a área da região encerrada pela elipse dada pela equação:
x^2a^2+y^2b^2=1onde a>0 e b>0 são constantes. Utilize a fórmula para a área A de uma região E limitada por uma curva fechada simples C percorrida no sentido anti-horário: A=ointC x d y=-ointC y d x=12 ointC(x d y-y d x)

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Queremos achar a área da região E fechada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1 usando o Teorema de Green. Vamos usar a fórmula de área em termos de integral de linha A=12ointCl(x,dy - y,dxr), onde C é o contorno orientado no sentido anti-horário.

Passo 2

Teorema de Green e fórmula de área: O Teorema de Green diz que para uma região E com fronteira C orientada positivamente, integral duplaE (partial Q/partial x - partial P/partial y),dA=ointC (P,dx+Q,dy). Escolhendo P=-y/2 e Q=x/2 obtemos diretamente a fórmula A=12ointC(x,dy - y,dx).

Passo 3

Parametrização da elipse: Vamos parametrizar C por:

Passo 4

x=acos t, y=bsin t, tin[0,2pi]

Passo 5

Cálculo de dx e dy: Diferenciando em relação a t:

Passo 6

dx=-asin t,dt, dy=bcos t,dt

Passo 7

Substituição na integral de linha: No integrando temos

Passo 8

x,dy - y,dx = (acos t)(bcos t,dt) - (bsin t)(-asin t,dt) = ab(cos^2 t + sin^2 t),dt = ab,dt

Passo 9

Cálculo da área: Substituindo em A=12integral0^2piab,dt

Passo 10

A=12 cdot ab integral0^2pidt = 12 cdot ab cdot 2pi = pi ab

Resposta

A=pi a b

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