Qual é a equação do plano tangente a
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariable, especificamente derivadas parciais e equações de planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado para montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função:
Queremos encontrar o plano tangente nesse ponto específico
.
Passo 3
Para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Explicando: usamos a regra da cadeia. Derivamos
que dá
multiplicado pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui também aplicamos a regra da cadeia. Derivamos
que dá
multiplicado pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Sabemos que
.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é
.