Qual é a equação do plano tangente a z=sen(x y+2 y) em (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à função z = sin(xy + 2y) no ponto (0, pi). Isso envolve conceitos de cálculo multivariable, especificamente derivadas parciais e equações de planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y no ponto dado para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função:
z = sin(xy + 2y)
Queremos encontrar o plano tangente nesse ponto específico (0, pi).

Passo 3

Para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de z em relação a x e y.
Primeiro, a derivada parcial de z em relação a x:
fx = partial zpartial x = cos(xy + 2y) cdot y
Explicando: usamos a regra da cadeia. Derivamos sin(u) que dá cos(u) multiplicado pela derivada de u em relação a x, que é y.

Passo 4

Agora, a derivada parcial de z em relação a y:
fy = partial zpartial y = cos(xy + 2y) cdot (x + 2)
Aqui também aplicamos a regra da cadeia. Derivamos sin(u) que dá cos(u) multiplicado pela derivada de u em relação a y, que é x + 2.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais no ponto (0, pi):
Para fx:
fx(0, pi) = cos(0 cdot pi + 2pi) cdot pi = cos(2pi) cdot pi = 1 cdot pi = pi
Para fy:
fy(0, pi) = cos(0 cdot pi + 2pi) cdot (0 + 2) = cos(2pi) cdot 2 = 1 cdot 2 = 2

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Sabemos que z0 = sin(0 cdot pi + 2pi) = sin(2pi) = 0 .
Substituindo os valores:
z = 0 + pi(x - 0) + 2(y - pi)
z = pi x + 2y - 2pi

Resposta

A equação do plano tangente é z = pi x + 2y - 2pi .

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