Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de LHopital.)
an=(n!)^2(2 n)!

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a sequência an = (n!)^2(2n)! e precisamos verificar se ela converge quando n tende ao infinito. Se for convergente, também precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar manipulações com logaritmos e, possivelmente, aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de an quando n cresce. Como n! cresce muito rápido, precisamos simplificar a expressão para entender o limite. Uma estratégia útil é tirar o logaritmo natural dos termos para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular o logaritmo natural de an :
ln(an) = ln((n!)^2(2n)!) = 2ln(n!) - ln((2n)!)

Passo 4

Sabemos que ln(n!) pode ser aproximado usando a aproximação de Stirling:
ln(n!) approx nln(n) - n
Vamos aplicar isso:
2ln(n!) approx 2(nln(n) - n)
ln((2n)!) approx 2nln(2n) - 2n

Passo 5

Substituindo as aproximações na expressão de ln(an) :
ln(an) approx 2(nln(n) - n) - (2nln(2n) - 2n)
Simplificando:
ln(an) approx 2nln(n) - 2n - 2nln(2n) + 2n = 2nln(n) - 2nln(2n)

Passo 6

Factorando 2n :
ln(an) = 2n [ln(n) - ln(2n)] = 2n [ln(n) - ln2 - ln(n)] = -2nln2

Passo 7

Agora, temos ln(an) approx -2nln2 . Para encontrar an , aplicamos a exponencial:
an approx e^-2nln2 = (e^ln2)^-2n = 2^-2n = (14)^n

Passo 8

Observando que (14)^n tende a zero quando n tende ao infinito, concluímos que:

Resposta

A sequência an = (n!)^2(2n)! é convergente, e o seu limite é 0.

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