Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de LHopital.)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos verificar se ela converge quando
tende ao infinito. Se for convergente, também precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar manipulações com logaritmos e, possivelmente, aplicar o Teorema de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce. Como
cresce muito rápido, precisamos simplificar a expressão para entender o limite. Uma estratégia útil é tirar o logaritmo natural dos termos para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular o logaritmo natural de
:
Passo 4
Sabemos que
pode ser aproximado usando a aproximação de Stirling:
Vamos aplicar isso:
Passo 5
Substituindo as aproximações na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Factorando
:
Passo 7
Agora, temos
. Para encontrar
, aplicamos a exponencial:
Passo 8
Observando que
tende a zero quando
tende ao infinito, concluímos que:
Resposta
A sequência
é convergente, e o seu limite é 0.