Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de LHopital.)
an=(n-3n)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a sequência an = (n-3n)^n é convergente e, se for, encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo exponenciais e logaritmos, além do Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A sequência é:
an = (n-3n)^n
Podemos reescrever n-3n como 1 - 3n . Assim:
an = (1 - 3n)^n

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites:
limn to infty (1 + kn)^n = e^k
No nosso caso, temos k = -3 . Então, aplicando essa propriedade:
limn to infty (1 - 3n)^n = e^-3

Resposta

Portanto, a sequência an = (n-3n)^n é convergente e o seu limite é e^-3 .

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