Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use manipulações envolvendo exponenciais, logaritmos e o Teorema de LHopital.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a sequência
é convergente e, se for, encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo exponenciais e logaritmos, além do Teorema de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A sequência é:
Podemos reescrever
como
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites:
No nosso caso, temos
. Então, aplicando essa propriedade:
Resposta
Portanto, a sequência
é convergente e o seu limite é
.