Usando Multiplicadores de Lagrange, encontre o ponto da parábola
mais próximo da origem.
Passo 1
Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar o ponto da parábola
que está mais próximo da origem (0,0). Para isso, vamos usar o método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir a função que queremos minimizar. Neste caso, queremos minimizar a distância entre um ponto qualquer
na parábola e a origem. A distância entre dois pontos é dada pela fórmula:
Para facilitar os cálculos, em vez de minimizar
, podemos minimizar
:
Passo 3
Agora, identificamos a restrição do problema, que é a equação da parábola:
Queremos minimizar
sujeito a
.
Passo 4
Aplicamos o método dos Multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador
e consideramos a função Lagrangiana:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, derivamos
em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações obtido:
- De
:
- Substituindo
na primeira equação:
Isso implica que
ou
.
- Usando a restrição
:
- Se
:
- Se
:
Como não existe
real que satisfaça
, descartamos essa solução.
Resposta
O ponto da parábola
mais próximo da origem é
.