Usando Multiplicadores de Lagrange, encontre o ponto da parábola y=x^2+4 mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar o ponto da parábola que está mais próximo da origem (0,0). Para isso, vamos usar o método dos Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a função que queremos minimizar. Neste caso, queremos minimizar a distância entre um ponto qualquer d = raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = raizx^2 + y^2 na parábola e a origem. A distância entre dois pontos é dada pela fórmula:
d^2 = x^2 + y^2
Para facilitar os cálculos, em vez de minimizar , podemos minimizar :

Passo 3

Agora, identificamos a restrição do problema, que é a equação da parábola:
y = x^2 + 4
Queremos minimizar sujeito a .

Passo 4

Aplicamos o método dos Multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador L(x, y, lambda) = x^2 + y^2 - lambda (y - x^2 - 4) e consideramos a função Lagrangiana:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, derivamos partial Lpartial x = 2x + 2lambda x = 0 em relação a partial Lpartial y = 2y - lambda = 0 , partial Lpartial lambda = -(y - x^2 - 4) = 0 e e igualamos a zero:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações obtido:
  1. De 2y - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2y :
2x + 2(2y)x = 0 Rightarrow 2x(1 + 2y) = 0
  1. Substituindo y = 0^2 + 4 = 4 na primeira equação:
-12 = x^2 + 4 Rightarrow x^2 = -92
Isso implica que ou .
  1. Usando a restrição :
  • Se :
  • Se :
Como não existe real que satisfaça , descartamos essa solução.

Resposta

O ponto da parábola mais próximo da origem é .

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