(a) Mostre que
é um ponto fixo de
.
(b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
no intervalo
e conclua que
é uma contração nesse intervalo.
(c) Conclua que se
a sequência definida
(b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
(c) Conclua que se
Passo 1
O enunciado nos dá a função de iteração
e pede para (a) verificar que
é ponto fixo, (b) mostrar que
é contração em
estimando
, e (c) concluir que a sequência
com
converge para o ponto fixo.
Passo 2
Para (a), basta checar que ao substituir
em
obtemos
Logo
, ou seja,
é ponto fixo.
Passo 3
Para (b), calculamos a derivada de
:
Em seguida, para
vemos que
, de modo que
Portanto
ou seja,
é Lipschitz com constante
nesse intervalo, logo é uma contração.
Passo 4
Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, qualquer contração
num intervalo completo possui único ponto fixo e toda sequência
converge para esse ponto fixo sempre que
pertencer ao intervalo.
Resposta
Para
, a sequência
converge geometricamente para o único ponto fixo
.