phi(x)=12(x+2x)
(a) Mostre que x^*=raiz2 é um ponto fixo de phi.
(b) Estime o máximo valor absoluto da derivada phi no intervalo [1, infty[ e conclua que phi é uma contração nesse intervalo.
(c) Conclua que se x0 in[1, infty[ a sequência definida
xn+1=12(xn+2xn)

Passo 1

O enunciado nos dá a função de iteração
phi(x)=12l(x+2xr)
e pede para (a) verificar que raiz2 é ponto fixo, (b) mostrar que phi é contração em [1,infty[ estimando maxx>=1|phi'(x)|, e (c) concluir que a sequência
xn+1=phi(xn)
com x0in[1,infty[ converge para o ponto fixo.

Passo 2

Para (a), basta checar que ao substituir x^*=raiz2 em phi obtemos
phi(raiz2) =12l(raiz2+2raiz2r) =12l(raiz2+raiz2r) =raiz2
Logo phi(raiz2)=raiz2, ou seja, raiz2 é ponto fixo.

Passo 3

Para (b), calculamos a derivada de phi:
phi'(x) =12l(1 - 2x^2r)
Em seguida, para x>=1 vemos que 0<=2x^2<=2, de modo que
-,12 = 12(1-2) <= phi'(x) <= 12(1-0)=12
Portanto
|phi'(x)|<=12para todo xin[1,infty[,
ou seja, phi é Lipschitz com constante L=tfrac12<1 nesse intervalo, logo é uma contração.

Passo 4

Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, qualquer contração phi num intervalo completo possui único ponto fixo e toda sequência xn+1=phi(xn) converge para esse ponto fixo sempre que x0 pertencer ao intervalo.

Resposta

Para x0in[1,infty[, a sequência
xn+1=12l(xn+2xnr)
converge geometricamente para o único ponto fixo x^*=raiz2.

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