A equação polinomial x(x^2 + 4)(x^2 - x - 6) = 0 possui quantas raízes reais?

Passo 1

Beleza, temos a equação polinomial x(x^2 + 4)(x^2 - x - 6) = 0 e queremos descobrir quantas raízes reais ela tem. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre polinômios e como encontrar as raízes delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um produto de fatores é igual a zero, pelo menos um dos fatores precisa ser igual a zero. Ou seja, se , então , B=0 ou C=0. Vamos aplicar isso na nossa equação:
  1. x = 0

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente para encontrar as raízes reais.
  1. Para x = 0:
    • Essa é uma equação simples. A solução é x = 0.
  2. Para :
    • Aqui, temos uma equação quadrática. Queremos encontrar os valores de x que satisfazem .
    • Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos .
    • Mas, a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Isso significa que essa equação não tem raízes reais.
  3. Para :
    • Outra equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara: Onde, , , e .
    • Calculando o discriminante ( Delta):
    • Como , temos duas raízes reais:
      • Então,
      • E

Resposta

A equação x(x^2 + 4)(x^2 - x - 6) = 0 possui 3 raízes reais, que são x = 0, e .

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