A função
descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto
tentando fugir.
Ajude Victor a fugir rapidamente, determinando a direção em que a taxa de variação de
seja mínima.
Ajude Victor a fugir rapidamente, determinando a direção em que a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A função
representa a velocidade do vento numa região durante um furacão. O Victor está no ponto
tentando fugir. A pergunta é: em qual direção a taxa de variação de
é mínima? Ou seja, para onde Victor deve se mover para que a velocidade do vento aumente o mínimo possível, ajudando-o a fugir mais rápido.
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e derivadas direcionais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
aponta na direç��o onde a velocidade do vento aumenta mais rapidamente. Mas queremos a direção onde a taxa de variação é mínima, ou seja, onde a velocidade do vento aumenta o menos possível.
Passo 4
Para encontrar a direção onde a taxa de variação de
é mínima, precisamos considerar a direção oposta ao gradiente. Isso porque o gradiente aponta para o aumento máximo, então a direção oposta apontará para o decréscimo máximo.
Então, a direção mínima é dada por:
Passo 5
No entanto, para especificar uma direção, geralmente normalizamos o vetor para que ele tenha comprimento 1 (vetor unitário). Vamos calcular o comprimento de
:
Então, o vetor unitário na direção desejada é:
Resposta
A direção em que a taxa de variação de
é mínima é dada pelo vetor unitário
. Portanto, para fugir rapidamente, Victor deve seguir nessa direção.