A função v(x, y) = 9 - x^2 - (y - 1)^2 descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto P = (1, 3) tentando fugir.
Ajude Victor a fugir rapidamente, determinando a direção em que a taxa de variação de v(x, y) seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A função representa a velocidade do vento numa região durante um furacão. O Victor está no ponto tentando fugir. A pergunta é: em qual direção a taxa de variação de é mínima? Ou seja, para onde Victor deve se mover para que a velocidade do vento aumente o mínimo possível, ajudando-o a fugir mais rápido.
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e derivadas direcionais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor aponta na direç��o onde a velocidade do vento aumenta mais rapidamente. Mas queremos a direção onde a taxa de variação é mínima, ou seja, onde a velocidade do vento aumenta o menos possível.

Passo 4

Para encontrar a direção onde a taxa de variação de é mínima, precisamos considerar a direção oposta ao gradiente. Isso porque o gradiente aponta para o aumento máximo, então a direção oposta apontará para o decréscimo máximo.
Então, a direção mínima é dada por:

Passo 5

No entanto, para especificar uma direção, geralmente normalizamos o vetor para que ele tenha comprimento 1 (vetor unitário). Vamos calcular o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção desejada é:

Resposta

A direção em que a taxa de variação de é mínima é dada pelo vetor unitário . Portanto, para fugir rapidamente, Victor deve seguir nessa direção.

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