Use a transformada de Laplace para resolver o sistema:
X' = (1 0; 0 2) X + (3, -1), X(0) = (4, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace! A gente tem um sistema representado por matrizes e queremos encontrar as funções que satisfazem essa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais simples. A sua matriz está assim:
Como a matriz é diagonal, isso significa que as equações estão separadas. Vamos chamar , então temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é . Vamos fazer isso para cada equação:
Para :
Portanto:
Para :
Portanto:

Passo 4

Vamos resolver cada equação para e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para cada e depois aplicar a transformada inversa de Laplace.
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Então:
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Então:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar e :
Para :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:

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