Use a transformada de Laplace para resolver o sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace! A gente tem um sistema representado por matrizes e queremos encontrar as funções que satisfazem essa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como aplicá-las em sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais simples. A sua matriz está assim:
Como a matriz é diagonal, isso significa que as equações estão separadas. Vamos chamar , então temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é . Vamos fazer isso para cada equação:
Para :
Portanto:
Para :
Portanto:
Passo 4
Vamos resolver cada equação para e :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para cada e depois aplicar a transformada inversa de Laplace.
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Então:
Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar e :