Relembre o Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Em seguida, determine o coeficiente do termo
na expansão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente lembrar do Binômio de Newton e do Triângulo de Pascal e, depois, encontrar o coeficiente do termo
na expansão de
. Para isso, vamos precisar entender como expandir binômios e como os coeficientes funcionam nessa expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Binômio de Newton. Ele nos mostra como expandir expressões do tipo
em uma soma de termos envolvendo potências de
e
. A fórmula geral é:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que nos dá o número de maneiras de escolher
elementos de um total de
.
Passo 3
O Triângulo de Pascal é uma ferramenta visual que facilita a identificação dos coeficientes binomiais. Cada linha do triângulo corresponde a um valor de
, e os números na linha representam os coeficientes
para
até
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à expressão
. Aqui,
e
, e
. Queremos encontrar o coeficiente de
, o que significa que
(porque a potência de
é
).
Passo 5
Usando a fórmula do Binômio de Newton, o termo geral é:
Vamos calcular cada parte:
- Coeficiente Binomial:
- Sinal:
(já que qualquer número negativo elevado a uma potência par vira positivo)
Passo 6
Multiplicando o coeficiente binomial pelo sinal:
Então, o coeficiente de
é 210.
Resposta
O coeficiente do termo
na expansão de
é 210.