Esta equação possui uma história curiosa que é relatada no livro de S. Collier citado na bibliografia.
Vamos mostrar que esta equação não possui soluções inteiras. De fato, suponhamos, por absurdo, que x0, y0 seja uma solução inteira da equação. Então
x0^3 equiv 5 bmod 9,
já que 117 equiv 0 bmod 9.
Mas, sendo x0 congruente a 0,1,2,3,4,5,6,7 ou 8 módulo 9 , segue por contas elementares que x0^3 é congruente a 0,1 ou 8 , módulo 9 . Logo, a congruência (4.1) não possui solução, o que fornece uma contradição.
Problema 4.24. Mostre que a equação diofantina
x^2+y^2+z^2=8 w+7
não possui soluções x, y, z, w inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diofantina
x^2 + y^2 + z^2 ;=; 8,w + 7
não admite soluções inteiras. O conteúdo principal é análise de restos de quadrados em módulo 8.

Passo 2

Mostramos que, para todo inteiro k,
k^2 equiv 0,;1 ou 4 pmod8
De fato, se k é par então k=2m e
k^2=4m^2
Como m é par ou ímpar, m^2 é par ou ímpar, de modo que 4m^2 vale 0 ou 4 módulo 8. Se k é ímpar, k=2m+1 e
k^2=4m(m+1)+1,
mas m(m+1) é sempre par, logo 4m(m+1) é múltiplo de 8 e k^2equiv1pmod8.

Passo 3

Como x^2,y^2,z^2 só podem ser 0,1 ou 4 em módulo 8, a soma
x^2+y^2+z^2
também é congruente a uma soma de três elementos de 0,1,4. As possibilidades (tomando todos os casos) dão restos em 0,1,2,3,4,5,6 módulo 8, mas jamais 7.

Passo 4

O lado direito da equação é
8,w + 7equiv7pmod8,
portanto a congruência
x^2+y^2+z^2equiv7pmod8
não pode ocorrer. Isso contradiz a hipótese de existência de solução inteira.

Resposta

Não existem inteiros x,y,z,w que satisfaçam x^2+y^2+z^2=8w+7.

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