Esta equação possui uma história curiosa que é relatada no livro de S. Collier citado na bibliografia.
Vamos mostrar que esta equação não possui soluções inteiras. De fato, suponhamos, por absurdo, que
seja uma solução inteira da equação. Então
já que
.
Mas, sendo
congruente a
ou 8 módulo 9 , segue por contas elementares que
é congruente a 0,1 ou 8 , módulo 9 . Logo, a congruência (4.1) não possui solução, o que fornece uma contradição.
Problema 4.24. Mostre que a equação diofantina
não possui soluções
inteiros.
Mas, sendo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diofantina
não admite soluções inteiras. O conteúdo principal é análise de restos de quadrados em módulo 8.
Passo 2
Mostramos que, para todo inteiro
,
De fato, se
é par então
e
Como
é par ou ímpar,
é par ou ímpar, de modo que
vale
ou
módulo 8. Se
é ímpar,
e
mas
é sempre par, logo
é múltiplo de 8 e
.
Passo 3
Como
só podem ser
ou
em módulo 8, a soma
também é congruente a uma soma de três elementos de
. As possibilidades (tomando todos os casos) dão restos em
módulo 8, mas jamais
.
Passo 4
O lado direito da equação é
portanto a congruência
não pode ocorrer. Isso contradiz a hipótese de existência de solução inteira.
Resposta
Não existem inteiros
que satisfaçam
.