A equação x^2+p x+q=0, possui raízes x1 e x2. Escreva a equação quadrática, cujas raízes são:
x1^3 e x2^3 ;

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^2 + p x + q = 0
cuja raízes são ,x1 e ,x2. O que queremos é a equação quadrática cujas raízes sejam ,x1^3 e ,x2^3. Para isso, vamos usar as relações de Viète e uma identidade de soma de cubos.

Passo 2

Pelas relações de Viète na equação original, temos
x1 + x2 = -p e x1,x2 = q
Queremos o novo somatório de raízes
S' = x1^3 + x2^3
Usamos a identidade
x1^3 + x2^3 = l(x1 + x2r)^3 ;-; 3,x1x2,l(x1 + x2r)
Substituindo x1+x2=-p e x1x2=q, vem
S' = (-p)^3 - 3,q,(-p) = -p^3 + 3,p,q

Passo 3

O produto das novas raízes é
P' = x1^3,x2^3 = l(x1,x2r)^3 = q^3

Passo 4

Agora, a equação quadrática cujas raízes têm soma S' e produto P' é dada por
x^2 - S',x + P' = 0
Substituindo S' = -p^3+3pq e P' = q^3, obtemos
x^2 - l(-p^3+3pqr),x + q^3 = 0
ou, reescrevendo o coeficiente de x,
x^2 + l(p^3 - 3,p,qr),x + q^3 = 0

Resposta

x^2 + l(p^3 - 3,p,qr),x + q^3 = 0

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