A equação x^2+p x+q=0, possui raízes x1 e x2. Escreva a equação quadrática, cujas raízes são:
1x1^2 e 1x2^2

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática x^2+p x+q=0 com raízes x1 e x2. Queremos formar outra equação quadrática cujas raízes sejam tfrac1x1^2 e tfrac1x2^2. Para isso, vamos usar as relações de soma e produto das raízes e depois aplicar a fórmula de Viète invertida para montar a nova equação.

Passo 2

Pelas relações de Viète para x^2+p x+q=0, temos
x1+x2=-p,
x1x2=q

Passo 3

Calculamos a soma das novas raízes:
S'=1x1^2+1x2^2 =x1^2+x2^2(x1x2)^2 =(x1+x2)^2-2x1x2q^2 =p^2-2qq^2

Passo 4

Calculamos o produto das novas raízes:
P'=1x1^2cdot1x2^2 =1(x1x2)^2 =1q^2

Passo 5

A equação com raízes tfrac1x1^2 e tfrac1x2^2 é
x^2-S',x+P'=0 Longrightarrow x^2-p^2-2qq^2,x+1q^2=0
Multiplicando tudo por q^2 para limpar denominadores, obtemos
q^2x^2-(p^2-2q),x+1=0

Resposta

q^2x^2-(p^2-2q),x+1=0

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