Resolva as seguintes equações modulares:
(a) |x-5|=9;
(b) -2|x+3|+7=3|x+3|+9;
(c) |3 x-2|=5;
(d) 2|x-7|+7=11;
(e) 3|x+2|-3=6;
(f) -2|x-3|=|x+3|;
(g) -|3-3 x|+4=|x-8|;
(h) |x^2-5|=3;
(i) |x^2-2 x|=4.

Passo 1

Temos nove equações envolvendo valor absoluto, dos tipos [\lvert A\rvert = B) ou com módulos em ambos os lados. O conteúdo é manipular módulo usando a propriedade básica:
desde que , não há solução. Quando aparecem módulos em ambos os lados, primeiro isolamos um módulo e depois aplicamos a mesma ideia. Para expressões quadráticas dentro de módulo, resolvemos as duas equações resultantes (com sinais “ ” e “ ”) usando fatoração ou fórmula de Bháskara.

Passo 2

Resolver lvert x - 5rvert = 9.
Pela propriedade do módulo:
x - 5 = 9 ou x - 5 = -9
Da primeira vem x = 14; da segunda, x = -4.

Passo 3

Resolver -2lvert x+3rvert + 7 = 3lvert x+3rvert + 9.
Isolando o módulo:
-2lvert x+3rvert - 3lvert x+3rvert = 9 - 7 ;Longrightarrow; -5lvert x+3rvert = 2 ;Longrightarrow; lvert x+3rvert = -tfrac25
Como o módulo não pode ser negativo, não há solução.

Passo 4

Resolver lvert 3x - 2rvert = 5.
Pela definição:
3x - 2 = 5 ou 3x - 2 = -5
Da primeira 3x = 7, x = tfrac73; da segunda 3x = -3, x = -1.

Passo 5

Resolver 2lvert x - 7rvert + 7 = 11.
Isolando:
2lvert x - 7rvert = 4 ;Longrightarrow; lvert x - 7rvert = 2
Logo x - 7 = 2 ou x - 7 = -2, dando x = 9 ou x = 5.

Passo 6

Resolver 3lvert x + 2rvert - 3 = 6.
Isolando:
3lvert x + 2rvert = 9 ;Longrightarrow; lvert x + 2rvert = 3
Portanto x + 2 = 3 ou x + 2 = -3, ou seja x = 1 ou x = -5.

Passo 7

Resolver -2lvert x - 3rvert = lvert x + 3rvert.
O lado direito é não negativo, o esquerdo é <=0. A única chance seria ambos zero:
lvert x-3rvert=0 e lvert x+3rvert=0 simultaneamente, impossível. Logo sem solução.

Passo 8

Resolver -lvert 3-3xrvert + 4 = lvert x - 8rvert.
Reescrevemos lvert 3-3xrvert = 3lvert x-1rvert e isolamos:
3lvert x-1rvert = 4 - lvert x-8rvert
O lado direito exige lvert x-8rvert<=4, ou seja xin[4,12]. Dentro desse segmento:
  • Se 4<= x<=8, lvert x-1rvert=x-1 e lvert x-8rvert=8-x, dá
    3(x-1)+(8-x)=4Rightarrow2x+5=4Rightarrow x=-tfrac12, fora do intervalo.
  • Se 8<= x<=12, lvert x-8rvert=x-8, dá
    3(x-1)+(x-8)=4Rightarrow4x-11=4Rightarrow x=tfrac154=3,75, também fora.
    Logo não há solução.

Passo 9

Resolver lvert x^2-5rvert = 3.
Fazemos x^2-5 = pm3:
x^2-5 = 3;Longrightarrow;x^2=8;Longrightarrow;x=pm2raiz2,
x^2-5 = -3;Longrightarrow;x^2=2;Longrightarrow;x=pmraiz2

Passo 10

Resolver lvert x^2-2xrvert = 4.
Escrevemos x^2-2x = pm4:
x^2-2x-4=0 Longrightarrow x = 2pmraiz4+162 = 1pmraiz5,
x^2-2x+4=0 Longrightarrow De<a = 4 -16<0, sem raízes reais í

Resposta

(a) x=14, x=-4.
(b) sem solução.
(c) x=tfrac73, x=-1.
(d) x=9, x=5.
(e) x=1, x=-5.
(f) sem solução.
(g) sem solução.
(h) x=pm2raiz2, x=pmraiz2.
(i) x=1+raiz5, x=1-raiz5.

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