Qual é a equação reduzida do hiperboloide que está posicionado no sentido do eixo x tal que seu centro está no ponto C de coordenadas (12, 6, 4) e tem semi-eixos a=4, b=5 e c=2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de um hiperboloide que está orientado ao longo do eixo x. O centro desse hiperboloide está no ponto $ C(12, 6, 4) $ e ele tem semi-eixos de tamanhos $ a = 4 $, $ b = 5 $ e $ c = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo superfícies quadricas, especificamente o hiperboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um hiperboloide do tipo que abre ao longo do eixo x. A forma padrão dessa equação é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 - (z - l)^2c^2 = 1
Aqui, $ (h, k, l) $ são as coordenadas do centro do hiperboloide, e $ a $, $ b $, $ c $ são os semi-eixos nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar cada valor que já conhecemos:
  • Centro $ C(h, k, l) = (12, 6, 4) $
  • Semi-eixo $ a = 4 $
  • Semi-eixo $ b = 5 $
  • Semi-eixo $ c = 2 $

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na equação padrão do hiperboloide:
(x - 12)^24^2 - (y - 6)^25^2 - (z - 4)^22^2 = 1

Passo 5

Vamos simplificar os denominadores:
(x - 12)^216 - (y - 6)^225 - (z - 4)^24 = 1

Resposta

A equação reduzida do hiperboloide é
(x - 12)^216 - (y - 6)^225 - (z - 4)^24 = 1

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