Qual é a equação reduzida do hiperboloide que está posicionado no sentido do eixo x tal que seu centro está no ponto C de coordenadas (12, 6, 4) e tem semi-eixos a=4, b=5 e c=2?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de um hiperboloide que está orientado ao longo do eixo x. O centro desse hiperboloide está no ponto $ C(12, 6, 4) $ e ele tem semi-eixos de tamanhos $ a = 4 $, $ b = 5 $ e $ c = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo superfícies quadricas, especificamente o hiperboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um hiperboloide do tipo que abre ao longo do eixo x. A forma padrão dessa equação é:
Aqui, $ (h, k, l) $ são as coordenadas do centro do hiperboloide, e $ a $, $ b $, $ c $ são os semi-eixos nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar cada valor que já conhecemos:
- Centro $ C(h, k, l) = (12, 6, 4) $
- Semi-eixo $ a = 4 $
- Semi-eixo $ b = 5 $
- Semi-eixo $ c = 2 $
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na equação padrão do hiperboloide:
Passo 5
Vamos simplificar os denominadores:
Resposta
A equação reduzida do hiperboloide é