Qual equação representa a equação da reta normal e plano tangente ao elipsoide x^24+y^2+z^24=3 no ponto (-2,1,2) ? ( 25 pontos)
a) -x+2 y+z-6=0 e x-2-1=y+12=z-2.
b) -x-2 y+z-6=0 e x+21=y-12=z-2.
*OBS: A Questão qé a ceTra D!!!
c) -x-2 y+z-6=0 e x-21=y-12=z-2.
d) x+2 y+z-6=0 e x+2-1=y-12=z-2.
e) nenhuma alternativa anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação da reta normal e o plano tangente a um elipsoide dado pela equação x^24 + y^2 + z^24 = 3 no ponto específico (-2, 1, 2). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre elipsoides, planos tangentes e retas normais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. É uma superfície tridimensional onde as equações quadráticas definem sua forma. No nosso caso, a equação é x^24 + y^2 + z^24 = 3. Isso nos mostra que estamos lidando com um elipsoide centrado na origem.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente e a reta normal no ponto (-2, 1, 2), precisamos calcular o gradiente da função que define o elipsoide. O gradiente nos dá a direção da máxima inclinação e é perpendicular à superfície no ponto considerado, ou seja, ele nos fornece a normal ao elipsoide.

Passo 4

Vamos definir a função F(x, y, z) = x^24 + y^2 + z^24 - 3. O gradiente de F, denotado por nabla F, é composto pelas derivadas parciais em relação a x, y e z:
nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z )

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x = 2x4 = x2
partial Fpartial y = 2y
partial Fpartial z = 2z4 = z2
Portanto,
nabla F = ( x2, 2y, z2 )

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (-2, 1, 2):
nabla F(-2, 1, 2) = ( -22, 2 times 1, 22 ) = (-1, 2, 1)
Esse vetor (-1, 2, 1) é a normal ao elipsoide no ponto dado.

Passo 7

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
nabla F cdot (X - X0) = 0
Onde X = (x, y, z) e X0 = (-2, 1, 2).

Passo 8

Substituindo os valores:
-1(x + 2) + 2(y - 1) + 1(z - 2) = 0
Simplificando:
- x - 2 + 2y - 2 + z - 2 = 0 - x + 2y + z - 6 = 0
Então, a equação do plano tangente é -x + 2y + z - 6 = 0.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. Sabemos que a reta normal passa pelo ponto (-2, 1, 2) e tem direção dada pelo vetor normal (-1, 2, 1). As equações paramétricas da reta são:
x = -2 - t y = 1 + 2t z = 2 + t
Podemos escrever essa reta na forma simétrica:
x + 2-1 = y - 12 = z - 21

Resposta

A equação do plano tangente é -x + 2y + z -6=0 e a equação da reta normal é x+2-1 = y-12 = z-21. Portanto, a alternativa correta é a opção e) nenhuma alternativa anterior.

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