Qual equação representa a equação da reta normal e plano tangente ao elipsoide
no ponto
? ( 25 pontos)
a)
.
b)
.
*OBS: A Questão qé a ceTra D!!!
c)
e
.
d)
e
.
e) nenhuma alternativa anterior.
a)
b)
*OBS: A Questão qé a ceTra D!!!
c)
d)
e) nenhuma alternativa anterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação da reta normal e o plano tangente a um elipsoide dado pela equação
no ponto específico
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre elipsoides, planos tangentes e retas normais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. É uma superfície tridimensional onde as equações quadráticas definem sua forma. No nosso caso, a equação é
. Isso nos mostra que estamos lidando com um elipsoide centrado na origem.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente e a reta normal no ponto
, precisamos calcular o gradiente da função que define o elipsoide. O gradiente nos dá a direção da máxima inclinação e é perpendicular à superfície no ponto considerado, ou seja, ele nos fornece a normal ao elipsoide.
Passo 4
Vamos definir a função
. O gradiente de
, denotado por
, é composto pelas derivadas parciais em relação a
,
e
:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é a normal ao elipsoide no ponto dado.
Passo 7
Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Onde
e
.
Passo 8
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. Sabemos que a reta normal passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor normal
. As equações paramétricas da reta são:
Podemos escrever essa reta na forma simétrica:
Resposta
A equação do plano tangente é
e a equação da reta normal é
. Portanto, a alternativa correta é a opção e) nenhuma alternativa anterior.